1. Énoncé du problème :\n(a) Montrer que l'équation $\sqrt{x} - 3 = \frac{4}{7}$ possède une unique solution réelle.\n(b) Donner un encadrement à $10^{-2}$ près de cette solution.\n\n2. Résolution de (a) :\nL'équation est $\sqrt{x} - 3 = \frac{4}{7}$.\nOn cherche $x$ tel que cette égalité soit vraie.\n\n3. Isoler $\sqrt{x}$ :\n$$\sqrt{x} = 3 + \frac{4}{7} = \frac{21}{7} + \frac{4}{7} = \frac{25}{7}.$$\n\n4. Élever au carré pour trouver $x$ :\n$$x = \left(\frac{25}{7}\right)^2 = \frac{625}{49}.$$\n\n5. Vérification de l'unicité :\nLa fonction $f(x) = \sqrt{x} - 3$ est strictement croissante sur $[0,+\infty)$,\nil y a donc au plus une solution pour $f(x) = \frac{4}{7}$.\nComme nous avons trouvé exactement une solution $x = \frac{625}{49}$,\nil s'agit donc de l'unique solution réelle.\n\n6. Résolution de (b) :\nCalculons la valeur numérique de la solution :\n$$x = \frac{625}{49} \approx 12.7551.$$\n\n7. Encadrement à $10^{-2}$ près :\nOn arrondit à deux décimales :\n$$12.75 < x < 12.76.$$\n\nRéponse finale :\n(a) L'équation possède une unique solution réelle $x = \frac{625}{49}$.\n(b) Un encadrement à $10^{-2}$ près de cette solution est $12.75 < x < 12.76$.