1. **Énoncé du problème :** Nous avons quatre droites avec des propriétés données. Après avoir trouvé l'équation de la 4e droite, nous devons déterminer la valeur de $W$ pour le point $(4,W)$ qui appartient à cette droite. 2. **Trouvons l'équation de la 1ère droite :** Elle passe par les points $(-5,-5)$ et $(8,21)$. La pente $m_1$ est donnée par : $$m_1 = \frac{21 - (-5)}{8 - (-5)} = \frac{26}{13} = 2$$ L'équation de la droite sous forme point-pente est : $$y - y_1 = m_1(x - x_1)$$ Prenons le point $(-5,-5)$ : $$y + 5 = 2(x + 5)$$ $$y = 2x + 10 - 5 = 2x + 5$$ Donc, la 1ère droite est : $$y = 2x + 5$$ 3. **Trouvons l'équation de la 2ème droite :** Elle est parallèle à la droite $8x - 2y = 10$. Mettons cette droite sous forme explicite : $$8x - 2y = 10 \Rightarrow -2y = -8x + 10 \Rightarrow y = 4x - 5$$ La pente de cette droite est $4$, donc la 2ème droite a aussi la pente $m_2 = 4$. Elle passe par $(-1,6)$, donc : $$y - 6 = 4(x + 1)$$ $$y = 4x + 4 + 6 = 4x + 10$$ 4. **Trouvons l'équation de la 3ème droite :** Elle est perpendiculaire à la droite $3x + 24y = 120$. Mettons cette droite sous forme explicite : $$24y = -3x + 120 \Rightarrow y = -\frac{1}{8}x + 5$$ La pente est $m = -\frac{1}{8}$. La pente de la droite perpendiculaire est l'opposé de l'inverse : $$m_3 = 8$$ On sait que son abscisse à l'origine (intersection avec l'axe $x$) est $-\frac{15}{8}$. L'abscisse à l'origine signifie que $y=0$, donc : $$0 = 8x + b \Rightarrow b = -8x = -8 \times \left(-\frac{15}{8}\right) = 15$$ Donc l'équation de la 3ème droite est : $$y = 8x + 15$$ 5. **Trouvons l'équation de la 4ème droite :** Elle passe par le point $(4,W)$ et est parallèle à la 3ème droite (car la suite semble logique, mais comme ce n'est pas précisé, on suppose qu'elle est parallèle à la 3ème droite pour pouvoir déterminer $W$). La pente de la 4ème droite est donc $m_4 = 8$. On peut supposer que la 4ème droite est la même que la 3ème droite (ou une autre droite parallèle), mais sans autre point, on ne peut pas déterminer $W$. **Cependant, la question demande de déduire l'équation de la 4ème droite puis de déterminer $W$.** Si on suppose que la 4ème droite est la même que la 3ème droite, alors : $$y = 8x + 15$$ En remplaçant $x=4$ : $$W = 8 \times 4 + 15 = 32 + 15 = 47$$ **Réponse finale :** $$W = 47$$