1. **Énoncé du problème :** Résoudre l'équation irrationnelle $$\sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 2 - x$$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour résoudre une équation avec une racine carrée, on commence par isoler la racine, puis on élève les deux membres au carré pour éliminer la racine. Attention aux solutions extrêmes qui peuvent être des faux résultats (solutions extraites) car l'élévation au carré peut introduire des solutions non valides. 3. **Isoler la racine :** La racine est déjà isolée à gauche. 4. **Élever au carré :** $$\left(\sqrt{3x^2 + 2x + 4}\right)^2 = (2 - x)^2$$ $$3x^2 + 2x + 4 = (2 - x)^2$$ 5. **Développer le carré à droite :** $$(2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2$$ 6. **Écrire l'équation complète :** $$3x^2 + 2x + 4 = 4 - 4x + x^2$$ 7. **Rassembler tous les termes à gauche :** $$3x^2 + 2x + 4 - 4 + 4x - x^2 = 0$$ $$ (3x^2 - x^2) + (2x + 4x) + (4 - 4) = 0$$ $$2x^2 + 6x = 0$$ 8. **Factoriser :** $$2x(x + 3) = 0$$ 9. **Solutions candidates :** $$x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -3$$ 10. **Vérification des solutions dans l'équation initiale :** - Pour $x=0$ : $$\sqrt{3(0)^2 + 2(0) + 4} = \sqrt{4} = 2$$ $$2 - 0 = 2$$ Les deux membres sont égaux, donc $x=0$ est solution. - Pour $x=-3$ : $$\sqrt{3(-3)^2 + 2(-3) + 4} = \sqrt{27 - 6 + 4} = \sqrt{25} = 5$$ $$2 - (-3) = 2 + 3 = 5$$ Les deux membres sont égaux, donc $x=-3$ est solution. 11. **Conclusion :** Les solutions de l'équation sont $$\boxed{x = 0 \text{ et } x = -3}$$.