1. المسألة: إثبات أن الدالتين $$h(x) = \sqrt{x + 1} - 1$$ و $$k(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 1} + 1}$$ متساويتان على المجال $$]-1 ; +\infty[$$. 2. نبدأ بحساب تعبير $$k(x)$$ ونبسطه: $$k(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1} + 1}$$ 3. نضرب البسط والمقام في التعبير المرافق للمقام لإزالة الجذر (التعبير المرافق هو $$\sqrt{x+1} - 1$$): $$k(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1} + 1} \times \frac{\sqrt{x+1} - 1}{\sqrt{x+1} - 1} = \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{(\sqrt{x+1} + 1)(\sqrt{x+1} - 1)}$$ 4. في المقام طبقنا الفرق بين مربعين: $$(\sqrt{x+1})^2 - 1^2 = (x+1) - 1 = x$$ 5. إذن: $$k(x) = \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{x}$$ 6. بشرط $$x \neq 0$$، يمكن حذف $$x$$ في البسط والمقام: $$k(x) = \sqrt{x+1} - 1$$ 7. وهذا يساوي $$h(x)$$ بالضبط، أي: $$h(x) = k(x)$$ على المجال $$]-1 ; +\infty[\text{ مع } x\neq 0$$. 8. نلاحظ أن عند $$x=0$$ أيضًا: $$h(0) = \sqrt{0+1} -1 = 1 -1 = 0$$ $$k(0) = \frac{0}{\sqrt{0+1} +1} = 0$$ وبالتالي تتساوى الدالتان على كل المجال المطلوب. الجواب النهائي: $$h(x) = k(x) = \sqrt{x+1} -1$$ على المجال $$]-1 ; +\infty[$$.