1. Énoncé du problème : Soit $B = \{2n^2, n \in \mathbb{N}\}$. 2. a) Trois éléments de $B$ lorsque $n=0,1,2$ sont : $$2\times0^2=0, \quad 2\times1^2=2, \quad 2\times2^2=8.$$ Donc, trois éléments de $B$ sont $0, 2, 8$. 3. b) Déterminons le minimum et le maximum de $B$ : - Le minimum est obtenu pour $n=0$, donc $\min B = 0$. - Comme $n$ peut être arbitrairement grand, $B$ n'a pas de maximum (pas de borne supérieure finie stricte). 4. c) Montrons que $0$ est le minimum de $B$. Par définition, $B=\{2n^2 \mid n \in \mathbb{N}\}$. Puisque $n^2 \geq 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $2n^2 \geq 0$. Donc $0$ est la plus petite valeur que $B$ peut prendre, donc $\min B=0$. 5. d) Montrons que $B$ est majoré par $2$ : Vrai ou faux ? Pour $n=2$, $2\times 2^2=8 > 2$, donc $B$ n'est pas majoré par $2$. Donc $2$ n'est pas une borne supérieure de $B$. 6. e) Raisonnement par l'absurde : Si on suppose que $2$ est le maximum de $B$, alors $2n^2 \leq 2$ pour tout $n$. Cela impliquerait $n^2 \leq 1$, donc $n \in \{0,1\}$. Mais pour $n=2$, $2\times4=8 > 2$, ce qui contredit l'hypothèse. Ainsi, $2$ n'est pas le maximum de $B$. --- Exercice 5 : 1. Résolution des équations : a) $|x + 1| = 3$ 1) $x + 1 = 3 \implies x = 2$ 2) $x + 1 = -3 \implies x = -4$ Solutions : $x=2$ ou $x=-4$. b) $|2x - 1| = \frac{2}{3}$ 1) $2x - 1 = \frac{2}{3} \implies 2x = \frac{5}{3} \implies x = \frac{5}{6}$ 2) $2x - 1 = -\frac{2}{3} \implies 2x = \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{6}$ Solutions : $x=\frac{5}{6}$ ou $x=\frac{1}{6}$. c) $-7 + |3x - 4| = -5$ $|3x - 4| = 2$ 1) $3x - 4 = 2 \implies 3x = 6 \implies x=2$ 2) $3x - 4 = -2 \implies 3x = 2 \implies x=\frac{2}{3}$ Solutions : $x=2$ ou $x=\frac{2}{3}$. 2. Résolution des inéquations : a) $|x - 3| < 1$ $-1 < x - 3 < 1$ $2 < x < 4$ Solution : $x \in (2,4)$. b) $|x + 7| \geq 5$ $x + 7 \geq 5$ ou $x + 7 \leq -5$ $x \geq -2$ ou $x \leq -12$ Solution : $x \in (-\infty, -12] \cup [-2, \infty)$. c) $|1 - |2x + 5|| > -8$ Puisque la valeur absolue est toujours positive, $|1 - |2x + 5|| \geq 0 > -8$ pour tout $x$. Solution : tous les réels $x \in \mathbb{R}$ satisfont l'inéquation.