1. نبدأ بتعريف مصفوفة بسيطة كمثال. لنأخذ المصفوفة $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$. 2. لإيجاد القيم الذاتية لمصفوفة $$A$$، نستخدم المعادلة $$\det(A - \lambda I) = 0$$ حيث $$I$$ هي مصفوفة الوحدة و$$\lambda$$ القيم الذاتية. 3. نحسب $$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{bmatrix}$$. 4. نحسب المحدد: $$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(2 - \lambda) - 1 \times 1 = (2 - \lambda)^2 - 1$$ 5. نساوي المحدد بالصفر لإيجاد القيم الذاتية: $$(2 - \lambda)^2 - 1 = 0$$ 6. نبسط المعادلة: $$ (2 - \lambda)^2 = 1 $$ $$ 2 - \lambda = \pm 1 $$ 7. نحسب القيمتين: - إذا كان $$2 - \lambda = 1$$ فإن $$\lambda = 1$$ - إذا كان $$2 - \lambda = -1$$ فإن $$\lambda = 3$$ 8. إذن القيم الذاتية للمصفوفة $$A$$ هي $$\lambda_1 = 1$$ و$$\lambda_2 = 3$$. 9. لإيجاد الأشعة (اتجاهات القيم الذاتية)، نوجد متجهات القيمة الذاتية لكل قيمة: 10. للقيمة $$\lambda_1 = 1$$: $$ (A - 1I)x = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 11. من المعادلة الأولى: $$x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = -x_1$$، نبسط لنجد $$x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ كاتجاه للقيمة الذاتية $$1$$. 12. للقيمة $$\lambda_2 = 3$$: $$ (A - 3I)x = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 13. المعادلة الأولى: $$-x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = x_1$$، إذن المتجه الاتجاهي هو $$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$. 14. بإيجاز: - القيم الذاتية: $$1$$ و$$3$$. - الأشعة: للـ $$1$$ اتجاه $$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$، وللـ $$3$$ اتجاه $$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$. هذا يشرح خطوة بخطوة إيجاد القيم الذاتية والأشعة لمصفوفة بسيطة.