1. Állítsuk fel a feladatot: Oldjuk meg az egyenletet $$\frac{x^2 + 3x - 5}{x - 1} = 2$$. 2. Fontos szabály: Az egyenlet értelmezési tartománya kizárja azokat az $x$ értékeket, amelyeknél a nevező nulla, tehát $x \neq 1$. 3. Szorozzuk meg mindkét oldalt az $x-1$-gyel, hogy megszabaduljunk a törtől: $$x^2 + 3x - 5 = 2(x - 1)$$ 4. Fejtsük ki a jobb oldalt: $$x^2 + 3x - 5 = 2x - 2$$ 5. Hozzuk az összes tagot az egyenlet bal oldalára: $$x^2 + 3x - 5 - 2x + 2 = 0$$ 6. Egyszerűsítsük: $$x^2 + (3x - 2x) + (-5 + 2) = 0$$ $$x^2 + x - 3 = 0$$ 7. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet a megoldóképlettel: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ ahol $a=1$, $b=1$, $c=-3$. 8. Számoljuk ki a diszkriminánst: $$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$$ 9. Írjuk fel a gyököket: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$$ 10. Ellenőrizzük, hogy egyik megoldás sem teszi nullává a nevezőt ($x \neq 1$), így mindkettő érvényes. Végső megoldás: $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$$