1. مسئله: باید بازه‌ای را پیدا کنیم که در آن دو تابع $$f(x) = \sqrt{x - |x - 1|}$$ و $$g(x) = \sqrt[3]{x} - 1$$ برابر باشند. 2. ابتدا دامنه هر تابع را بررسی می‌کنیم: - برای $$f(x)$$ داخل رادیکال باید غیرمنفی باشد: $$x - |x - 1| \geq 0$$. - برای $$g(x)$$ چون رادیکال سوم تعریف شده برای همه اعداد حقیقی است، فقط باید داخل رادیکال دوم غیرمنفی باشد: $$\sqrt[3]{x} - 1 \geq 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} \geq 1 \Rightarrow x \geq 1$$. 3. حل نامعادله $$x - |x - 1| \geq 0$$: - اگر $$x \geq 1$$، آنگاه $$|x - 1| = x - 1$$ و داریم: $$x - (x - 1) = 1 \geq 0$$ که همیشه درست است. - اگر $$x < 1$$، آنگاه $$|x - 1| = 1 - x$$ و داریم: $$x - (1 - x) = 2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$$. پس دامنه $$f(x)$$ برابر است با $$[\frac{1}{2}, +\infty)$$. 4. حال شرط برابری دو تابع را بررسی می‌کنیم: $$\sqrt{x - |x - 1|} = \sqrt[3]{x} - 1$$. 5. برای $$x \geq 1$$، $$f(x) = \sqrt{1} = 1$$ و $$g(x) = \sqrt[3]{x} - 1 \geq 0$$. 6. برای $$\frac{1}{2} \leq x < 1$$، $$f(x) = \sqrt{2x - 1}$$ و $$g(x) = \sqrt[3]{x} - 1 < 0$$ که نمی‌توانند برابر باشند چون $$f(x) \geq 0$$ و $$g(x) < 0$$. 7. بنابراین تنها بازه‌ای که در آن دو تابع می‌توانند برابر باشند، $$[1, +\infty)$$ است. 8. اما گزینه‌های داده شده این بازه را ندارند. نزدیک‌ترین بازه به این، گزینه ۱ یعنی $$(1, +\infty)$$ است. نتیجه: بازه مورد نظر گزینه ۱ یعنی $$(1, +\infty)$$ است.