1. Énoncé du problème : Nous voulons effectuer la division euclidienne de $$n^2 + 7n + 18$$ par $$n + 2$$. 2. Dividende : $$n^2 + 7n + 18$$. 3. Diviseur : $$n + 2$$. 4. Trouvons le quotient $$Q$$ et le reste $$R$$. 5. Calcul du quotient : - Le terme dominant du dividende est $$n^2$$. - Le terme dominant du diviseur est $$n$$. - Divisons $$n^2$$ par $$n$$ ce qui donne $$n$$. - Multiplions le diviseur par $$n$$ : $$n \times (n+2) = n^2 + 2n$$. 6. Soustrayons ce produit du dividende : $$ (n^2 + 7n + 18) - (n^2 + 2n) = 5n + 18 $$. 7. Répétons avec le nouveau terme : - Divisons le terme dominant $$5n$$ par $$n$$ ce qui donne $$5$$. - Le quotient complet est donc $$Q = n + 5$$. - Multiplions le diviseur par $$5$$ : $$5 \times (n+2) = 5n + 10$$. 8. Soustrayons cette multiplication du terme restant : $$ (5n + 18) - (5n + 10) = 8 $$. 9. Comme le degré de $$8$$ (qui est 0) est inférieur à celui du diviseur $$n+2$$ (degré 1), ce reste est final. 10. Conclusion : - Quotient : $$Q = n + 5$$. - Reste : $$R = 8$$. Donc, la division euclidienne de $$n^2 + 7n + 18$$ par $$n + 2$$ donne \[ n^2 + 7n + 18 = (n+2)(n+5) + 8 \].