1. Problema: Risolvere la disequazione $\frac{2x-1}{3} > \frac{x-4}{2} + 1$. Passo 1: Portiamo tutto al denominatore comune o moltiplichiamo entrambi i membri per 6 (il minimo comune multiplo tra 3 e 2) per eliminare i denominatori: $$6 \cdot \frac{2x-1}{3} > 6 \cdot \left(\frac{x-4}{2}+1\right)$$ Passo 2: Semplifichiamo: $$2(2x-1) > 3(x-4) + 6$$ Passo 3: Svolgiamo i prodotti: $$4x - 2 > 3x - 12 + 6$$ Passo 4: Semplifichiamo il lato destro: $$4x - 2 > 3x - 6$$ Passo 5: Sottraiamo $3x$ da entrambi i membri: $$4x - 3x - 2 > -6$$ $$x - 2 > -6$$ Passo 6: Sommiamo 2 a entrambi i membri: $$x > -6 + 2$$ $$x > -4$$ Risposta data nell'esercizio è $x > 4$, ma dal calcolo la soluzione corretta è $x > -4$, probabilmente un errore nella risposta. 2. Problema: Risolvere la disequazione $\frac{1}{3}(x - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{3}) \leq \frac{x-4}{2}$. Passo 1: Espandiamo i termini: $$\frac{1}{3}x - \frac{1}{6} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6} \leq \frac{x-4}{2}$$ Passo 2: Il termine $-\frac{1}{6}$ e $+\frac{1}{6}$ si annullano, quindi otteniamo: $$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \leq \frac{x-4}{2}$$ Passo 3: Calcoliamo la differenza: $$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x = \frac{2}{6}x - \frac{3}{6}x = -\frac{1}{6}x$$ Passo 4: Quindi la disequazione diventa: $$-\frac{1}{6}x \leq \frac{x-4}{2}$$ Passo 5: Moltiplichiamo tutto per 6 per eliminare i denominatori: $$-x \leq 3(x - 4)$$ Passo 6: Svolgiamo il prodotto a destra: $$-x \leq 3x - 12$$ Passo 7: Portiamo $3x$ a sinistra e -12 a destra: $$-x - 3x \leq -12$$ $$-4x \leq -12$$ Passo 8: Dividiamo entrambi i membri per -4 (invertendo il segno della disequazione perché dividiamo per un numero negativo): $$x \geq 3$$ Quindi la soluzione è $x \geq 3$, che corrisponde alla risposta data. 3. Problema: Risolvere la disequazione $(x - 2)(x + 2) - (x + \frac{1}{2})^2 \geq \frac{1}{2}(x - 1)$. Passo 1: Svolgiamo i prodotti al primo termine: $$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$$ Passo 2: Svolgiamo il quadrato al secondo termine: $$(x + \frac{1}{2})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + x + \frac{1}{4}$$ Passo 3: Sostituiamo nella disequazione: $$x^2 - 4 - (x^2 + x + \frac{1}{4}) \geq \frac{x - 1}{2}$$ Passo 4: Apriamo la parentesi con il segno meno: $$x^2 - 4 - x^2 - x - \frac{1}{4} \geq \frac{x - 1}{2}$$ Passo 5: Semplifichiamo: $$-4 - x - \frac{1}{4} \geq \frac{x - 1}{2}$$ $$-4.25 - x \geq \frac{x-1}{2}$$ Passo 6: Moltiplichiamo tutto per 2 per eliminare il denominatore a destra: $$2(-4.25 - x) \geq x - 1$$ $$-8.5 - 2x \geq x - 1$$ Passo 7: Portiamo $x$ e 1 a sinistra: $$-8.5 - 2x - x + 1 \geq 0$$ $$-7.5 - 3x \geq 0$$ Passo 8: Portiamo -7.5 a destra: $$-3x \geq 7.5$$ Passo 9: Dividiamo per -3 (invertendo la disequazione): $$x \leq -\frac{7.5}{3} = -2.5 = -\frac{5}{2}$$ Risultato coerente con la risposta data $x \leq -\frac{5}{2}$.