1. **Enunciado:** Dado o sistema com incógnitas $x,y,z$ e parâmetros reais $a,b$: $$\begin{cases} x - 4y + 3z = 2b \\ ay + z = b \\ x - y + (a+1)z = -b \end{cases}$$ Queremos discutir a natureza do sistema (possível determinado, indeterminado ou impossível) dependendo dos valores de $a$ e $b$. 2. **Matriz dos coeficientes e determinante:** A matriz dos coeficientes é $$A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & -1 & a+1 \end{bmatrix}$$ Vamos calcular seu determinante $\det(A)$: $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ -1 & a+1 \end{vmatrix} - (-4) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & a+1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & a \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculando os menores: $$\begin{vmatrix} a & 1 \\ -1 & a+1 \end{vmatrix} = a(a+1) - (-1) \cdot 1 = a^2 + a + 1$$ $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & a+1 \end{vmatrix} = 0 \cdot (a+1) - 1 \cdot 1 = -1$$ $$\begin{vmatrix} 0 & a \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-1) - 1 \cdot a = -a$$ Substituindo: $$\det(A) = 1 \cdot (a^2 + a + 1) - (-4) \cdot (-1) + 3 \cdot (-a) = a^2 + a + 1 - 4 - 3a = a^2 - 2a - 3$$ 3. **Determinação dos casos do sistema:** - Se $\det(A) \neq 0$, o sistema é possível determinado com solução única. - Se $\det(A) = 0$, então pode ser possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). 4. **Análise do valor de $a$ para $\det(A) = 0$:** $$a^2 - 2a -3 = 0$$ Resolvendo: $$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Logo, $$a = 3 \quad \text{ou} \quad a = -1$$ 5. **Caso 1: $a \neq 3$ e $a \neq -1$** Aqui $\det(A) \neq 0$, então sistema possível determinado para todo $b$. 6. **Caso 2: $a = 3$** Substituindo na matriz e vetor termos independentes: O sistema é $$\begin{cases} x - 4y + 3z = 2b \\ 3y + z = b \\ x - y + 4z = -b \end{cases}$$ Vamos verificar a consistência. Formando a matriz ampliada e reduzindo ou comparando: Escrevendo a terceira equação menos a primeira: $$(x - y + 4z) - (x - 4y + 3z) = -b - 2b \implies -y + 4z - x + 4y - 3z = -3b \implies 3y + z = -3b$$ A segunda equação diz $3y + z = b$ e essa diferença diz $3y + z = -3b$. Para que haja consistência: $$b = -3b \implies 4b = 0 \implies b = 0$$ Se $b=0$, o sistema tem infinitas soluções (possível indeterminado). Se $b \neq 0$, o sistema é impossível. 7. **Caso 3: $a = -1$** Substituindo: $$\begin{cases} x - 4y + 3z = 2b \\ -1 \cdot y + z = b \\ x - y + 0 \cdot z = -b \end{cases}$$ Simplificando a segunda equação: $$-y + z = b \implies z = y + b$$ Substituindo $z$ na terceira equação: $$x - y = -b \implies x = y - b$$ Substituindo $x$ e $z$ na primeira equação: $$(y - b) - 4y + 3(y + b) = 2b$$ Simplificando: $$y - b - 4y + 3y + 3b = 2b \\ (y - 4y + 3y) + (-b + 3b) = 2b \\ 0 + 2b = 2b$$ Que é verdadeira para todo $y$. Logo, tem infinitas soluções para todo $b$ no caso $a = -1$ (possível indeterminado). **Resumo:** - Para $a \neq 3$ e $a \neq -1$: sistema possível determinado para todo $b$. - Para $a = 3$ e $b = 0$: possível indeterminado. - Para $a = 3$ e $b \neq 0$: impossível. - Para $a = -1$: possível indeterminado para todo $b$. --- **Resposta final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Possível determinado:} & a \neq 3, a \neq -1, \forall b \\ \text{Possível indeterminado:} & (a=-1, \forall b) \text{ ou } (a=3, b=0) \\ \text{Impossível:} & a=3, b \neq 0 \end{cases}}$$