1. **Menyatakan masalah:** Kita diberikan persamaan Diophantine $x + y + z = n$ dengan $n \in \mathbb{N}$ dan diminta menentukan solusi untuk $n=10$ dalam tiga kasus: (a) solusi bilangan bulat positif, (b) solusi bilangan bulat tak negatif, dan (c) solusi umum. 2. **Rumus dan aturan penting:** - Untuk solusi bilangan bulat positif ($x,y,z \geq 1$), banyak solusi adalah banyaknya cara membagi $n$ menjadi 3 bagian positif. Rumusnya adalah kombinasi dengan pengulangan: $$\binom{n-1}{3-1} = \binom{n-1}{2}$$ - Untuk solusi bilangan bulat tak negatif ($x,y,z \geq 0$), banyak solusi adalah banyaknya cara membagi $n$ menjadi 3 bagian tak negatif. Rumusnya: $$\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2}$$ 3. **Menghitung banyak solusi bilangan bulat positif untuk $n=10$:** $$\binom{10-1}{2} = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$$ Jadi, ada 36 solusi bilangan bulat positif. 4. **Menghitung banyak solusi bilangan bulat tak negatif untuk $n=10$:** $$\binom{10+2}{2} = \binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$$ Jadi, ada 66 solusi bilangan bulat tak negatif. 5. **Menentukan solusi umum (himpunan penyelesaian):** - Solusi bilangan bulat positif: $x,y,z \geq 1$ dan $x+y+z=10$. - Solusi bilangan bulat tak negatif: $x,y,z \geq 0$ dan $x+y+z=10$. - Secara umum, solusi adalah himpunan tripel $(x,y,z)$ yang memenuhi persamaan tersebut dengan batasan sesuai kasus. **Kesimpulan:** - a. Banyak solusi bilangan bulat positif adalah 36. - b. Banyak solusi bilangan bulat tak negatif adalah 66. - c. Solusi umum adalah himpunan semua tripel $(x,y,z)$ dengan $x,y,z$ bilangan bulat positif atau tak negatif yang jumlahnya 10 sesuai kasus.