**Exercice 1, Partie 1:** 1. Développer et réduire: a) $$A = (2x + \sqrt{3})^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4x^2 + 4x\sqrt{3} + 3$$ b) $$B = \sqrt{2} \times (3 - x\sqrt{8}) = \sqrt{2} \times 3 - \sqrt{2} \times x \times 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 2x \times 2 = 3\sqrt{2} - 4x$$ c) $$C = (3x + \sqrt{7})(3x - \sqrt{7}) = (3x)^2 - (\sqrt{7})^2 = 9x^2 - 7$$ 2. Factoriser et réduire: a) $$D = 4x^2 - 81 = (2x)^2 - 9^2 = (2x - 9)(2x + 9)$$ b) $$E = (6x + \sqrt{2})^2 - 5x(6x + \sqrt{2})$$ Factoriser par $(6x + \sqrt{2})$: $$E = (6x + \sqrt{2})(6x + \sqrt{2} - 5x) = (6x + \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$$ 3. Expression $$F = (2x + 1)^2 - 25x^2$$ a) Factoriser: $$F = (2x + 1)^2 - (5x)^2 = ((2x + 1) - 5x)((2x + 1) + 5x) = (-3x + 1)(7x + 1)$$ b) Calcul valeur numérique pour $$x=0$$ : $$F = (2*0 + 1)^2 - 25*0^2 = 1^2 - 0 = 1$$ c) Résoudre $$F=0$$: $$(-3x + 1)(7x + 1) = 0$$ $$\Rightarrow -3x + 1 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{1}{3}$$ ou $$7x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\tfrac{1}{7}$$ --- **Exercice 2, Partie 1:** 1. Calculs: a) $$(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$$ b) $$\sqrt{1.44} = 1.2$$ c) $$\sqrt{64} - \sqrt{36} = 8 - 6 = 2$$ d) $$\sqrt{54} - \sqrt{25} = 3\sqrt{6} - 5$$ e) $$(\sqrt{19} - 3\sqrt{2})^{2021}(\sqrt{19} + 3\sqrt{2})^{2021}$$ En utilisant $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$ on obtient: $$=( (\sqrt{19})^2 - (3\sqrt{2})^2 )^{2021} = (19 - 9 \times 2)^{2021} = (19 - 18)^{2021} = 1^{2021} = 1$$ f) $$10^{34} / 2^{(32 \times 53^3)}$$ reste tel quel, car complexe à simplifier sans calculatrice. 2. Réduire racines: a) $$G = \sqrt{20} \times \sqrt{5} = \sqrt{100} = 10$$ b) $$H = \left(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\right)^9 = (\sqrt{\frac{48}{3}})^9 = (\sqrt{16})^9 = 4^9 = 262144$$ c) $$I = 3\sqrt{5} + \sqrt{45} - 2\sqrt{80} = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 2 \times 4\sqrt{5} = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 8\sqrt{5} = (3 + 3 - 8)\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$$ 3. Écriture scientifique: a) $$J = 0.00007345 = 7.345 \times 10^{-5}$$ b) $$K = 132800 \times 10^{-17} = 1.328 \times 10^{-12}$$ c) $$L = 16 \times 10^{-7} + 0.03 \times 10^{-5} = 1.6 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-7} = 1.9 \times 10^{-6}$$ 4. Rationaliser dénominateur: a) $$\frac{6}{7\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{7 \times 3} = \frac{2\sqrt{3}}{7}$$ b) $$\frac{1}{\sqrt{5} + 2} \times \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2$$ 5. Développer puis réduire: a) $$(3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 2 \times 3 \sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$$ b) $$\sqrt{11} - 6\sqrt{2}$$ ne se simplifie pas davantage. 6. Montrer que $$M = \sqrt{6} + 2\sqrt{5} - \sqrt{9} - 4\sqrt{5}$$ est un entier naturel: $$M = \sqrt{6} + 2\sqrt{5} - 3 - 4\sqrt{5} = \sqrt{6} - 3 - 2\sqrt{5}$$ Ça ne semble pas être un entier naturel, sauf erreur de transcription. Or, $$\sqrt{6} - 3 - 2\sqrt{5}$$ n'est pas entier naturel car $\sqrt{6}$ et $\sqrt{5}$ sont irrationnels. Peut-être une erreur, donc on attend précisions. --- **Résumé:** - Total problèmes traités: 14