1. **Exercice 1 :** 1) Développer et réduire : - $A = (2x + \sqrt{3})^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4x^2 + 4x\sqrt{3} + 3$ - $B = \sqrt{2} \times (3 - x\sqrt{8}) = \sqrt{2} \times (3 - x \times 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2x \times 2 = 3\sqrt{2} - 4x$ - $C = (3x + \sqrt{7})(3x - \sqrt{7}) = (3x)^2 - (\sqrt{7})^2 = 9x^2 - 7$ 2) Factoriser puis réduire si possible : - $D = 4x^2 - 81 = (2x)^2 - 9^2 = (2x - 9)(2x + 9)$ - $E = (6x + \sqrt{2})^2 - 5x(6x + \sqrt{2})$ $= (6x + \sqrt{2})(6x + \sqrt{2}) - 5x(6x + \sqrt{2})$ $= (6x + \sqrt{2})(6x + \sqrt{2} - 5x) = (6x + \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ 3) On pose : $F = (2x + 1)^2 - 25x^2$ a) Factoriser $F$ : $F = (2x + 1)^2 - (5x)^2 = ((2x + 1) - 5x)((2x + 1) + 5x) = (-3x + 1)(7x + 1)$ b) Calculer $F$ pour $x = 0$ : $F = (2 \times 0 + 1)^2 - 25 \times 0^2 = 1^2 - 0 = 1$ c) Résoudre l'équation $F = 0$ : $(-3x + 1)(7x + 1) = 0 \Rightarrow -3x + 1 = 0$ ou $7x + 1 = 0$ $x = \frac{1}{3}$ ou $x = -\frac{1}{7}$ --- 2. **Exercice 2 :** 1) Calculer : - $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ - $\sqrt{1,44} = 1,2$ - $\sqrt{64} - \sqrt{36} = 8 - 6 = 2$ - $\sqrt{54} - \sqrt{25} = 3\sqrt{6} - 5$ - $(\sqrt{19} - 3\sqrt{2})^{2021}(\sqrt{19} + 3\sqrt{2})^{2021}$ $= [(\sqrt{19})^2 - (3\sqrt{2})^2]^{2021}$ $= (19 - 9 \times 2)^{2021} = (19 - 18)^{2021} = 1^{2021} = 1$ - $\frac{10^{34}}{2^{32}} \times 5^{33} = 10^{34} \times \frac{5^{33}}{2^{32}} = 10^{34} \times 5^{33} \times 2^{-32} = 10^{34} \times 5^{33} \times \frac{1}{2^{32}}$ Simplify $10^{34} = (2 \times 5)^{34} = 2^{34} \times 5^{34}$ Then: $= 2^{34} \times 5^{34} \times 5^{33} \times 2^{-32} = 2^{34 - 32} \times 5^{67} = 2^2 \times 5^{67} = 4 \times 5^{67}$ 2) Réduire les racines carrées : - $G = \sqrt{20} \times \sqrt{5} = \sqrt{100} = 10$ - $H = \frac{(\sqrt{48})^9}{(\sqrt{3})^9} = (\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}})^9 = (\sqrt{\frac{48}{3}})^9 = (\sqrt{16})^9 = 4^9 = 262144$ - $I = 3\sqrt{5} + \sqrt{45} - 2\sqrt{80}$ $= 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = (3 + 3 - 4)\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ 3) Écriture scientifique : - $J = 0,00007345 = 7,345 \times 10^{-5}$ - $K = 132800 \times 10^{-17} = 1,328 \times 10^{5} \times 10^{-17} = 1,328 \times 10^{-12}$ - $L = 16 \times 10^{-7} + 0,03 \times 10^{-5} = 1,6 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-7} = 1,9 \times 10^{-6}$ 4) Rendre rationnel : - $\frac{6}{7\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{7 \times 3} = \frac{2\sqrt{3}}{7}$ - $\frac{1}{\sqrt{5} + 2} \times \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2$ 5) Développer et réduire : - $(3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 2 \times 3 \times \sqrt{2} + 2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$ - $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$ est la racine carrée de l'expression ci-dessus. 6) Montrer que $M = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ est entier naturel : Écrivons: $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = \sqrt{5} + 1$ $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$ Donc $M = (\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 2) = 1 + 2 = 3$ Donc $M$ est un entier naturel égal à 3.