1. **Énoncé du problème :** Développer et simplifier l'expression $$\left(\sqrt{x} + \sqrt{1-x}\right)^2$$. 2. **Formule utilisée :** Pour développer un carré de somme, on utilise la formule $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$. 3. **Application de la formule :** Ici, $a = \sqrt{x}$ et $b = \sqrt{1-x}$. 4. **Calcul des termes :** - $a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$ - $b^2 = (\sqrt{1-x})^2 = 1 - x$ - $2ab = 2 \times \sqrt{x} \times \sqrt{1-x} = 2\sqrt{x(1-x)}$ 5. **Développement complet :** $$\left(\sqrt{x} + \sqrt{1-x}\right)^2 = x + 1 - x + 2\sqrt{x(1-x)}$$ 6. **Simplification :** Les termes $x$ et $-x$ s'annulent, donc il reste : $$1 + 2\sqrt{x(1-x)}$$ **Réponse finale :** $$\left(\sqrt{x} + \sqrt{1-x}\right)^2 = 1 + 2\sqrt{x(1-x)}$$