1. Énonçons le problème : on doit développer et simplifier la fonction $f(x) = (-1 + 2x)^2 - (3 - 6x)(1 - x)$.\n\n2. Rappel des formules importantes :\n- Le carré d'une somme ou différence : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.\n- La distributivité : $(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd$.\n\n3. Développons chaque partie :\n- $(-1 + 2x)^2 = (-1)^2 + 2 \times (-1) \times 2x + (2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2$.\n- $(3 - 6x)(1 - x) = 3 \times 1 - 3 \times x - 6x \times 1 + 6x \times x = 3 - 3x - 6x + 6x^2 = 3 - 9x + 6x^2$.\n\n4. Substituons dans $f(x)$ :\n$$f(x) = (1 - 4x + 4x^2) - (3 - 9x + 6x^2)$$\n\n5. Simplifions en enlevant les parenthèses :\n$$f(x) = 1 - 4x + 4x^2 - 3 + 9x - 6x^2$$\n\n6. Regroupons les termes semblables :\n- Constantes : $1 - 3 = -2$\n- Termes en $x$ : $-4x + 9x = 5x$\n- Termes en $x^2$ : $4x^2 - 6x^2 = -2x^2$\n\n7. La forme simplifiée est donc :\n$$f(x) = -2 + 5x - 2x^2$$\n\nC'est la forme développée et simplifiée de la fonction $f$.