1. Problème 7: Développer et réduire les expressions A et B. A = (\sqrt{2} + 1)^4. Utilisons la formule du binôme de Newton: $$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$ Ici, $a = \sqrt{2}$, $b=1$. Calculons chaque terme: - $a^4 = (\sqrt{2})^4 = ( (\sqrt{2})^2 )^2 = 2^2 = 4$ - $4a^3b = 4 \times (\sqrt{2})^3 \times 1 = 4 \times ( (\sqrt{2})^2 \times \sqrt{2} ) = 4 \times 2 \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ - $6a^2b^2 = 6 \times (\sqrt{2})^2 \times 1^2 = 6 \times 2 = 12$ - $4ab^3 = 4 \times \sqrt{2} \times 1 = 4\sqrt{2}$ - $b^4 = 1$ Additionnons tous les termes: $$4 + 8\sqrt{2} + 12 + 4\sqrt{2} + 1 = (4 + 12 + 1) + (8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 17 + 12\sqrt{2}$$ 2. Pour B = $x(x+3) - x(x-5)$: Développons: $$x^2 + 3x - (x^2 - 5x) = x^2 + 3x - x^2 + 5x = 8x$$ 3. Problème 9: Factoriser C et D. C = $20 - 5x$ Factorisons par 5: $$5(4 - x)$$ D = $(4 + x)(3x -1) - x(x + 4)$ Développons: $4 \times 3x = 12x$, $4 \times (-1) = -4$, $x \times 3x = 3x^2$, $x \times (-1) = -x$ Donc, $$(4+x)(3x-1) = 12x -4 + 3x^2 - x = 3x^2 + 11x - 4$$ De plus, $$x(x+4) = x^2 + 4x$$ Soustrayons: $$3x^2 + 11x - 4 - (x^2 + 4x) = 3x^2 + 11x - 4 - x^2 - 4x = 2x^2 + 7x - 4$$ Factorisons $2x^2 + 7x -4$: Trouvons deux nombres dont le produit est $2 \times (-4) = -8$ et la somme $7$. Ces nombres sont 8 et -1. $$2x^2 + 8x - x -4 = 2x(x+4) -1(x+4) = (x+4)(2x -1)$$ 4. Exercice II: Simplifier $$E = \frac{7}{3} \times \left(\frac{3}{7}\right)^3 \times \left(-\frac{7}{3}\right)^4$$ Calculons chaque puissance: $$\left(\frac{3}{7}\right)^3 = \frac{3^3}{7^3} = \frac{27}{343}$$ $$\left(-\frac{7}{3}\right)^4 = \left(\frac{7}{3}\right)^4 = \frac{7^4}{3^4} = \frac{2401}{81}$$ Multiplions: $$E = \frac{7}{3} \times \frac{27}{343} \times \frac{2401}{81}$$ Simplifions étape par étape: $\frac{27}{343} = \frac{3^3}{7^3}$ et $\frac{2401}{81} = \frac{7^4}{3^4}$. Donc, $$E = \frac{7}{3} \times \frac{3^3}{7^3} \times \frac{7^4}{3^4} = \frac{7}{3} \times \frac{3^3}{7^3} \times \frac{7^4}{3^4} = \frac{7}{3} \times \frac{3^3}{7^3} \times \frac{7^4}{3^4}$$ Regroupons les puissances: $$= 7^{1 - 3 + 4} \times 3^{ -1 + 3 -4} = 7^{2} \times 3^{-2} = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9}$$ Donc, $$E = \frac{49}{9}$$