1. **Développer** **A = (x^2 - \sqrt{7})^2** Utilisons la formule du carré d'une différence : $$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$ Ici, $a = x^2$ et $b = \sqrt{7}$. Donc : $$ A = (x^2)^2 - 2 \times x^2 \times \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = x^4 - 2x^2\sqrt{7} + 7 $$ **B = (x - 1)^3 - (x + 1)^3** Utilisons la formule du cube d'une somme et d'une différence : $$ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$ $$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ Ici, $a = x$, $b = 1$. Calculons : $$(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$$ $$(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$$ Donc : $$ B = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = -6x^2 - 2 $$ 2. **Factoriser** **C = x^3 - 8 + 7x - 14** Réarrangeons : $$ C = x^3 + 7x - 8 - 14 = x^3 + 7x - 22 $$ On cherche une racine rationnelle possible parmi les diviseurs de 22 : $\pm1, \pm2, \pm11, \pm22$. Testons $x=1$ : $$1^3 + 7 \times 1 - 22 = 1 + 7 - 22 = -14 \neq 0$$ Testons $x=2$ : $$2^3 + 7 \times 2 - 22 = 8 + 14 - 22 = 0$$ Donc $x=2$ est racine. Factorisons par $(x-2)$ : Divisons $x^3 + 7x - 22$ par $(x-2)$ : Le quotient est $x^2 + 2x + 11$. Donc : $$ C = (x - 2)(x^2 + 2x + 11) $$ 3. **Écriture scientifique** **D = 3^{38} \times 2000 / 0.0001 \times 5^8** Réécrivons : $$ 2000 = 2 \times 10^3 $$ $$ 0.0001 = 10^{-4} $$ Donc : $$ D = 3^{38} \times 2 \times 10^3 \times 10^4 \times 5^8 = 3^{38} \times 2 \times 10^{7} \times 5^8 $$ Sachant que $5^8 = (5^3)^2 \times 5^2 = 125^2 \times 25 = 15625 \times 25 = 390625$ On peut aussi remarquer que $3^{38} \times 5^8 = 3^{30} \times 3^8 \times 5^8 = 3^{30} \times (3^8 \times 5^8) = 3^{30} \times (15)^8$ Donc : $$ D = 2 \times 10^7 \times 3^{30} \times 15^8 $$ Ceci est une écriture scientifique avec un coefficient et une puissance de 10. 4. **Calculs avec $x$ et $y$** Donné : $$ x + y = 2 $$ $$ x^2 + y^2 = 8 $$ Calculons $xy$ : $$ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$ $$ 2^2 = 8 + 2xy $$ $$ 4 = 8 + 2xy $$ $$ 2xy = 4 - 8 = -4 $$ $$ xy = -2 $$ Calculons $x^3 + y^3$ : Utilisons la formule : $$ x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) $$ $$ = 2^3 - 3 \times (-2) \times 2 = 8 + 12 = 20 $$