1. Énoncé du problème : On considère la fonction $$f(x) = \frac{3x^2 + ax + b}{x^2 + 1}$$ avec $$a$$ et $$b$$ réels. On veut déterminer les valeurs de $$a$$ et $$b$$ telles que la courbe de $$f$$ passe par le point $$A(0,3)$$ et que la tangente à la courbe en $$A$$ ait pour équation $$y = 4x + 3$$. 2. Utilisons la condition que la courbe passe par $$A(0,3)$$ : on a $$f(0) = 3$$. Calculons $$f(0)$$ : $$f(0) = \frac{3\cdot0^2 + a\cdot0 + b}{0^2 + 1} = \frac{b}{1} = b.$$ Donc $$b = 3$$. 3. La dérivée de $$f$$ est obtenue par la règle du quotient : Si $$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$ avec $$u(x) = 3x^2 + ax + b$$ et $$v(x) = x^2 + 1$$, $$u'(x) = 6x + a$$ and $$v'(x) = 2x$$. La dérivée est : $$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{(6x + a)(x^2 + 1) - (3x^2 + ax + b)(2x)}{(x^2 + 1)^2}.$$ 4. Calculons $$f'(0)$$ : Substituons $$x = 0$$, $$f'(0) = \frac{(6\cdot0 + a)(0^2 + 1) - (3\cdot0^2 + a\cdot0 + b)(2\cdot0)}{(0^2 + 1)^2} = \frac{a \cdot 1 - b \cdot 0}{1} = a.$$ 5. La pente de la tangente en $$A$$ est donnée par $$f'(0)$$, qui doit être égale à 4 car l'équation de la tangente est $$y = 4x + 3$$. Donc $$a = 4$$. 6. Résultats finaux : $$a = 4$$ et $$b = 3$$. La fonction recherchée est donc : $$f(x) = \frac{3x^2 + 4x + 3}{x^2 + 1}.$$