1. Masalah: Hitung determinan matriks $T$ dan $D$ menggunakan metode kofaktor dengan memilih baris atau kolom yang mudah. 2. Rumus determinan dengan kofaktor: $$\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}$$ di mana $a_{ij}$ adalah elemen baris $i$ dan kolom $j$, dan $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ adalah kofaktor, dengan $M_{ij}$ adalah minor (determinant matriks hasil hapus baris $i$ dan kolom $j$). 3. Matriks $T = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ Pilih baris 1 karena ada dua nol, memudahkan perhitungan. $$\det(T) = 3 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} = 3C_{11} + 2C_{13}$$ Hitung $C_{11}$: Minor $M_{11}$ adalah determinan matriks 3x3 hasil hapus baris 1 dan kolom 1: $$\begin{bmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$$ Hitung determinan 3x3: $$\det = 4 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 0 + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}$$ $$= 4(5 \times 2 - 1 \times 3) + 3(2 \times 3 - 0) = 4(10 - 3) + 3(6) = 4 \times 7 + 18 = 28 + 18 = 46$$ Karena $C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \times 46 = 46$ Hitung $C_{13}$: Minor $M_{13}$ adalah determinan matriks 3x3 hasil hapus baris 1 dan kolom 3: $$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$ Hitung determinan 3x3: $$2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= 2(2 \times 2 - 1 \times 0) - 4(0 \times 2 - 1 \times 1) + 3(0 \times 0 - 2 \times 1)$$ $$= 2(4) - 4(0 - 1) + 3(0 - 2) = 8 - 4(-1) + 3(-2) = 8 + 4 - 6 = 6$$ Karena $C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = (-1)^4 \times 6 = 6$ Jadi, $$\det(T) = 3 \times 46 + 2 \times 6 = 138 + 12 = 150$$ 4. Matriks $D = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ Pilih baris 2 karena ada nol, memudahkan perhitungan. $$\det(D) = 0 \cdot C_{21} + 2 \cdot C_{22} + 4 \cdot C_{23} + 1 \cdot C_{24} = 2C_{22} + 4C_{23} + C_{24}$$ Hitung $C_{22}$: Minor $M_{22}$ adalah determinan matriks 3x3 hasil hapus baris 2 dan kolom 2: $$\begin{bmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$ Hitung determinan 3x3: $$1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 1(3 \times 3 - 0 \times 2) - 5(2 \times 3 - 0 \times 1) + 2(2 \times 2 - 3 \times 1)$$ $$= 1(9) - 5(6) + 2(4 - 3) = 9 - 30 + 2(1) = 9 - 30 + 2 = -19$$ Karena $C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = 1 \times (-19) = -19$ Hitung $C_{23}$: Minor $M_{23}$ adalah determinan matriks 3x3 hasil hapus baris 2 dan kolom 3: $$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$ Hitung determinan 3x3: $$1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= 1(0 \times 3 - 0 \times 0) - 3(2 \times 3 - 0 \times 1) + 2(2 \times 0 - 0 \times 1)$$ $$= 0 - 3(6) + 2(0) = -18$$ Karena $C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -1 \times (-18) = 18$ Hitung $C_{24}$: Minor $M_{24}$ adalah determinan matriks 3x3 hasil hapus baris 2 dan kolom 4: $$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$ Hitung determinan 3x3: $$1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= 1(0 \times 2 - 3 \times 0) - 3(2 \times 2 - 3 \times 1) + 5(2 \times 0 - 0 \times 1)$$ $$= 0 - 3(4 - 3) + 5(0) = 0 - 3(1) + 0 = -3$$ Karena $C_{24} = (-1)^{2+4} M_{24} = 1 \times (-3) = -3$ Jadi, $$\det(D) = 2(-19) + 4(18) + 1(-3) = -38 + 72 - 3 = 31$$ 5. Jawaban akhir: $$\det(T) = 150$$ $$\det(D) = 31$$