1. **Énoncé du problème :** Calculer le déterminant de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$ et montrer qu'elle est inversible. 2. **Formule utilisée :** Le déterminant d'une matrice $3 \times 3$ est donné par : $$\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$ avec $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$. 3. **Calcul du déterminant :** Ici, $a=1$, $b=2$, $c=5$, $d=1$, $e=1$, $f=1$, $g=1$, $h=-2$, $i=-2$. Calculons chaque terme : - $ei - fh = 1 \times (-2) - 1 \times (-2) = -2 + 2 = 0$ - $di - fg = 1 \times (-2) - 1 \times 1 = -2 - 1 = -3$ - $dh - eg = 1 \times (-2) - 1 \times 1 = -2 - 1 = -3$ Donc : $$\det(A) = 1 \times 0 - 2 \times (-3) + 5 \times (-3) = 0 + 6 - 15 = -9$$ 4. **Conclusion sur l'inversibilité :** Le déterminant de $A$ est $-9 \neq 0$, donc $A$ est inversible. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que $A \times B = -9 I_3$ avec $B = \begin{pmatrix} 0 & -6 & -3 \\ 3 & -7 & 4 \\ -3 & 4 & -1 \end{pmatrix}$ et en déduire $A^{-1}$. 2. **Calcul du produit $A \times B$ :** Calculons chaque élément de la matrice produit : - Première ligne : - $(1)(0) + (2)(3) + (5)(-3) = 0 + 6 - 15 = -9$ - $(1)(-6) + (2)(-7) + (5)(4) = -6 - 14 + 20 = 0$ - $(1)(-3) + (2)(4) + (5)(-1) = -3 + 8 - 5 = 0$ - Deuxième ligne : - $(1)(0) + (1)(3) + (1)(-3) = 0 + 3 - 3 = 0$ - $(1)(-6) + (1)(-7) + (1)(4) = -6 - 7 + 4 = -9$ - $(1)(-3) + (1)(4) + (1)(-1) = -3 + 4 - 1 = 0$ - Troisième ligne : - $(1)(0) + (-2)(3) + (-2)(-3) = 0 - 6 + 6 = 0$ - $(1)(-6) + (-2)(-7) + (-2)(4) = -6 + 14 - 8 = 0$ - $(1)(-3) + (-2)(4) + (-2)(-1) = -3 - 8 + 2 = -9$ Donc : $$A \times B = \begin{pmatrix} -9 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix} = -9 I_3$$ 3. **Déduction de $A^{-1}$ :** On a $A \times B = -9 I_3$, donc $$A \times \left(-\frac{1}{9} B\right) = I_3$$ Ainsi, $$A^{-1} = -\frac{1}{9} B = -\frac{1}{9} \begin{pmatrix} 0 & -6 & -3 \\ 3 & -7 & 4 \\ -3 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{7}{9} & -\frac{4}{9} \\ \frac{1}{3} & -\frac{4}{9} & \frac{1}{9} \end{pmatrix}$$