1. Задача: Обчислити визначник матриці 4x4: $$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 8 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 & -3 \\ 5 & 2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ 2. Формула: Визначник 4x4 можна обчислити за допомогою розкладу за рядком або стовпцем, наприклад, за першим рядком: $$\det(A) = \sum_{j=1}^4 (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$$ де $a_{1j}$ - елемент першого рядка, $M_{1j}$ - мінор, визначник матриці 3x3, що утворена вилученням першого рядка і $j$-го стовпця. 3. Обчислимо мінори: - Для $a_{11} = 1$ вилучаємо 1-й рядок і 1-й стовпець: $$M_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Обчислимо $M_{11}$: $$= 2 \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$= 2(2 \cdot 0 - (-3)(-1)) - 1(4 \cdot 0 - (-3) \cdot 2) + 1(4 \cdot (-1) - 2 \cdot 2)$$ $$= 2(0 - 3) - 1(0 + 6) + 1(-4 - 4) = 2(-3) - 6 - 8 = -6 - 6 - 8 = -20$$ - Для $a_{12} = 4$ вилучаємо 1-й рядок і 2-й стовпець: $$M_{12} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 5 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Обчислимо $M_{12}$: $$= 3 \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}$$ $$= 3(2 \cdot 0 - (-3)(-1)) - 1(1 \cdot 0 - (-3) \cdot 5) + 1(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 5)$$ $$= 3(0 - 3) - 1(0 + 15) + 1(-1 - 10) = 3(-3) - 15 - 11 = -9 - 15 - 11 = -35$$ - Для $a_{13} = 8$ вилучаємо 1-й рядок і 3-й стовпець: $$M_{13} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & -3 \\ 5 & 2 & 0 \end{vmatrix}$$ Обчислимо $M_{13}$: $$= 3 \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 3(4 \cdot 0 - (-3) \cdot 2) - 2(1 \cdot 0 - (-3) \cdot 5) + 1(1 \cdot 2 - 4 \cdot 5)$$ $$= 3(0 + 6) - 2(0 + 15) + 1(2 - 20) = 18 - 30 - 18 = -30$$ - Для $a_{14} = 2$ вилучаємо 1-й рядок і 4-й стовпець: $$M_{14} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 5 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Обчислимо $M_{14}$: $$= 3 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 3(4 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) - 2(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 5) + 1(1 \cdot 2 - 4 \cdot 5)$$ $$= 3(-4 - 4) - 2(-1 - 10) + 1(2 - 20) = 3(-8) - 2(-11) - 18 = -24 + 22 - 18 = -20$$ 4. Підставляємо у формулу визначника: $$\det(A) = 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot (-20) + 4 \cdot (-1)^{1+2} \cdot (-35) + 8 \cdot (-1)^{1+3} \cdot (-30) + 2 \cdot (-1)^{1+4} \cdot (-20)$$ $$= 1 \cdot 1 \cdot (-20) + 4 \cdot (-1) \cdot (-35) + 8 \cdot 1 \cdot (-30) + 2 \cdot (-1) \cdot (-20)$$ $$= -20 + 140 - 240 + 40 = (-20 + 140) + (-240 + 40) = 120 - 200 = -80$$ 5. Відповідь: Визначник матриці дорівнює $$-80$$.