1. Énonçons le problème : on doit décomposer la fonction $$f(x,y) = x^2 y^2 + 2x^3 y^3 - x y^2 - x^2 y + x^2 y^3 + x^3 y^2$$. 2. La décomposition consiste à factoriser l'expression en regroupant les termes communs. 3. Regroupons les termes par puissances de $x$ et $y$ : $$f(x,y) = x^2 y^2 + 2x^3 y^3 - x y^2 - x^2 y + x^2 y^3 + x^3 y^2$$ 4. Observons les termes : - $x^2 y^2$ et $x^2 y^3$ et $x^3 y^2$ ont au moins $x^2 y^2$ en commun. - $2x^3 y^3$ est un terme plus élevé. - $- x y^2$ et $- x^2 y$ sont des termes avec des puissances plus faibles. 5. Factorisons par $x y$ dans les termes où c'est possible : $$- x y^2 = - x y \cdot y$$ $$- x^2 y = - x y \cdot x$$ 6. Réécrivons en regroupant : $$f(x,y) = x^2 y^2 + x^2 y^3 + x^3 y^2 + 2 x^3 y^3 - x y^2 - x^2 y$$ 7. Factorisons $x^2 y^2$ dans les quatre premiers termes : $$x^2 y^2 (1 + y + x + 2 x y) - x y (y + x)$$ 8. On peut écrire : $$f(x,y) = x^2 y^2 (1 + y + x + 2 x y) - x y (x + y)$$ 9. C'est une forme factorisée partielle qui montre la décomposition en facteurs communs. Réponse finale : $$f(x,y) = x^2 y^2 (1 + y + x + 2 x y) - x y (x + y)$$