1. Problème: Décomposer en éléments simples dans \(\mathbb{R}(X)\) \(F(X) = \frac{1}{X^{3}(X^{2} - 1)(X^{2} + 1)}\). 2. Factorisation des dénominateurs: \(X^{2} - 1 = (X-1)(X+1)\) et \(X^{2} + 1\) irréductible sur \(\mathbb{R}\). 3. Écriture de la décomposition: \[ \frac{1}{X^{3}(X-1)(X+1)(X^{2}+1)} = \frac{A}{X} + \frac{B}{X^{2}} + \frac{C}{X^{3}} + \frac{D}{X-1} + \frac{E}{X+1} + \frac{FX + G}{X^{2} + 1} \] 4. Multiplier tous les termes par le dénominateur commun \(X^{3}(X-1)(X+1)(X^{2}+1)\) pour obtenir: \[ 1 = A X^{2}(X-1)(X+1)(X^{2}+1) + B X (X-1)(X+1)(X^{2}+1) + C (X-1)(X+1)(X^{2}+1) + D X^{3} (X+1)(X^{2}+1) + E X^{3} (X-1)(X^{2}+1) + (F X + G) X^{3} (X-1)(X+1) \] 5. Développer et comparer les coefficients des puissances de \(X\) des deux côtés pour résoudre le système pour \(A,B,C,D,E,F,G\). --- 6. Deuxième problème: Décomposer \(F(X) = \frac{X^{5}}{(X^{2}+X+1)^{10}}\). 7. Le dénominateur \(X^{2}+X+1\) est un polynôme irréductible sur \(\mathbb{R}\). 8. La décomposition en éléments simples est: \[ \frac{X^{5}}{(X^{2}+X+1)^{10}} = \frac{A_{1}X + B_{1}}{X^{2}+X+1} + \frac{A_{2}X + B_{2}}{(X^{2}+X+1)^{2}} + \cdots + \frac{A_{10}X + B_{10}}{(X^{2}+X+1)^{10}} \] 9. Multiplier par \((X^{2}+X+1)^{10}\) et identifier les coefficients des termes pour résoudre les constantes \(A_i, B_i\). Réponses finales: La forme des décompositions est donnée, et on trouvera les constantes par identification.