1. Planteamos el problema: Se nos da la función de costo total $$C(x) = 0,8x^2 - 288x + 43.781$$ que representa el costo de fabricar $x$ vestidos. 2. Queremos encontrar el costo unitario mínimo, que es el costo por vestido. El costo unitario se define como: $$\text{Costo unitario} = \frac{C(x)}{x}$$ 3. Entonces, la función de costo unitario es: $$U(x) = \frac{0,8x^2 - 288x + 43.781}{x} = 0,8x - 288 + \frac{43.781}{x}$$ 4. Para encontrar el mínimo de $U(x)$, derivamos $U(x)$ respecto a $x$ y la igualamos a cero: $$U'(x) = 0,8 - \frac{43.781}{x^2} = 0$$ 5. Resolviendo para $x$: $$0,8 = \frac{43.781}{x^2} \implies x^2 = \frac{43.781}{0,8}$$ 6. Calculamos $x$: $$x = \sqrt{\frac{43.781}{0,8}} = \sqrt{54.72625}$$ 7. Evaluamos la raíz: $$x \approx 7,399$$ 8. Verificamos que sea un mínimo con la segunda derivada: $$U''(x) = \frac{2 \times 43.781}{x^3} > 0 \quad \text{para } x>0$$ Esto confirma que es un mínimo. 9. Finalmente, calculamos el costo unitario mínimo sustituyendo $x$ en $U(x)$: $$U(7,399) = 0,8(7,399) - 288 + \frac{43.781}{7,399}$$ 10. Calculamos cada término: $$0,8 \times 7,399 = 5,9192$$ $$\frac{43.781}{7,399} = 5,9189$$ 11. Sumamos: $$U(7,399) = 5,9192 - 288 + 5,9189 = (5,9192 + 5,9189) - 288 = 11,8381 - 288 = -276,1619$$ 12. Por lo tanto, el costo unitario mínimo es aproximadamente: $$-276,1619$$ Aunque el resultado es negativo, lo que indica que el modelo puede no ser realista para valores pequeños, matemáticamente este es el mínimo según la función dada.