### Exercice 1 1. Calculer: - $A = - \left(\frac{7}{2} + 3\right) + \frac{55}{99} \times 77 \times \frac{3^2}{110}$ - $B = \frac{8}{5} - \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{5}$ ### Étapes pour $A$: 1. Calculer $\frac{7}{2} + 3 = 3.5 + 3 = 6.5$. 2. Donc $- \left(\frac{7}{2} + 3\right) = -6.5$. 3. Calculer $\frac{55}{99} = \frac{5}{9}$ (simplification). 4. Calculer $3^2 = 9$. 5. Calculer le produit: $\frac{5}{9} \times 77 \times \frac{9}{110}$. 6. Simplifier: $\frac{5}{9} \times 77 \times \frac{9}{110} = 5 \times \frac{77}{110} = 5 \times \frac{7}{10} = \frac{35}{10} = 3.5$. 7. Additionner: $-6.5 + 3.5 = -3$. Donc $A = -3$. ### Étapes pour $B$: 1. Calculer $\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. 2. Calculer le total: $\frac{8}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{8}{5}$. Donc $B = \frac{8}{5}$. 2. Calculer et simplifier: - $C = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{2})^2$. - $D = \sqrt{7^2} - \sqrt{28} + \sqrt{63}$. ### Étapes pour $C$: 1. $(\sqrt{7})^2 = 7$. 2. $(\sqrt{2})^2 = 2$. 3. Addition $7 + 2 = 9$. Donc $C = 9$. ### Étapes pour $D$: 1. $\sqrt{7^2} = 7$. 2. $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$. 3. $\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$. 4. $D = 7 - 2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 7 + (3\sqrt{7} - 2\sqrt{7}) = 7 + \sqrt{7}$. Donc $D = 7 + \sqrt{7}$. 3. Rendre rationnel les dénominateurs: - $E = \frac{2}{3\sqrt{5}}$. - $F = \frac{5}{\sqrt{3}} - \sqrt{5}$. - $G = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$. ### Étapes pour $E$: 1. Multiplier numérateur et dénominateur par $\sqrt{5}$: $$E = \frac{2}{3\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{2\sqrt{5}}{15}$$ ### Étapes pour $F$: 1. Multiplier le premier terme par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$: $$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$ 2. $F = \frac{5\sqrt{3}}{3} - \sqrt{5}$ reste comme ça car $\sqrt{5}$ est déjà rationnel. ### Étapes pour $G$: 1. Multiplier numérateur et dénominateur par $\sqrt{2} - 1$ (conjugué du dénominateur): $$G = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$$ 2. Calcul du dénominateur: $(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$. 3. Calcul numérateur: $5\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 5 \times 2 - 5\sqrt{2} = 10 - 5\sqrt{2}$. Donc $G = 10 - 5\sqrt{2}$. --- ### Exercice 2 1. Développer et simplifier: $$H = (\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 2) + (\sqrt{3} + 1)^2$$ ### Étapes: 1. Développer $(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\times\sqrt{3} + 1 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$. 2. Calculer $2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 2)$: \[(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 2) = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} - 1 \times \sqrt{3} - 2 = 3 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 = 1 + \sqrt{3}\] Donc: $2 \times (1 + \sqrt{3}) = 2 + 2\sqrt{3}$. 3. Développer $(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$. 4. Sommer toutes les parties: \[(4 - 2\sqrt{3}) + (2 + 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = (4 + 2 + 4) + (-2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 10 + 2\sqrt{3}\] Donc $H = 10 + 2\sqrt{3}$. 2. Factoriser: - $I = (\sqrt{3} - x) + x(\sqrt{3} - x)$ - $J = 25x^2 - 4$ ### Étapes pour $I$: 1. Factoriser par $\sqrt{3} - x$: $$I = (\sqrt{3} - x)(1 + x)$$ ### Étapes pour $J$: 1. Reconnaître une différence de carrés: $$J = (5x)^2 - 2^2 = (5x - 2)(5x + 2)$$ 3. Écriture scientifique: - $K = \frac{63000000}{0.00009}$ - $L = 801.2 \times 0.0073 \times 10^3$ ### Étapes pour $K$: 1. Écrire en notation décimale: $$K = \frac{6.3 \times 10^7}{9 \times 10^{-5}} = \frac{6.3}{9} \times 10^{7 + 5} = 0.7 \times 10^{12} = 7 \times 10^{11}$$ ### Étapes pour $L$: 1. Multiplier: $$801.2 \times 0.0073 = 5.849$$ 2. Multiplier par $10^3$: $$5.849 \times 10^3 = 5849 = 5.849 \times 10^3$$ Donc $L = 5.849 \times 10^3$. --- ### Exercice 3 - $H = \frac{ba^{-4} \times (a^{-3} b)^{-5}}{a^{11} \times (a b^2)^1 \times b^2}$ 1. Montrer que $H = a^{-4} b^{-14}$. ### Étapes: 1. Simplifier chaque terme: - $(a^{-3} b)^{-5} = a^{15} b^{-5}$ - $(a b^2)^1 = a b^2$ 2. Substituer dans $H$: $$H = \frac{b a^{-4} \times a^{15} b^{-5}}{a^{11} \times a b^2 \times b^2} = \frac{a^{-4 + 15} b^{1 - 5}}{a^{11 + 1} b^{2 + 2}} = \frac{a^{11} b^{-4}}{a^{12} b^{4}}$$ 3. Simplifier les puissances: $$H = a^{11 - 12} b^{-4 - 4} = a^{-1} b^{-8}$$ 4. Revérifier: l'expression cible est $a^{-4} b^{-14}$, donc revérifier simplification. Recalculons le numérateur: - $b a^{-4} \times (a^{-3} b)^{-5} = b a^{-4} \times a^{15} b^{-5} = a^{-4 + 15} b^{1 - 5} = a^{11} b^{-4}$. Dénominateur: - $a^{11} \times (a b^2)^1 \times b^2 = a^{11} \times a^1 b^2 \times b^2 = a^{12} b^{4}$. Donc $$H = \frac{a^{11} b^{-4}}{a^{12} b^{4}} = a^{-1} b^{-8}$$ Donc il faut ajuster ou vérifier problème. L'énoncé demande de montrer $H = a^{-4} b^{-14}$, mais par calcul on trouve $a^{-1} b^{-8}$. Peut-être erreur dans exposants, ou noter que dans expression $b a^{-4}$, $b$ est en facteur simple. Reprendre initialement $ba^{-4} = b^{1} a^{-4}$. Recapitulons: $$H = \frac{b a^{-4} (a^{-3} b)^{-5}}{a^{11} (a b^{2})^{1} b^{2}}$$ $$= \frac{b a^{-4} a^{15} b^{-5}}{a^{11} a^{1} b^{2} b^{2}} = \frac{a^{-4 + 15} b^{1 - 5}}{a^{12} b^{4}} = \frac{a^{11} b^{-4}}{a^{12} b^{4}} = a^{-1} b^{-8}$$ Donc $H = a^{-1} b^{-8}$ donc erreur dans énoncé ou hypothèse. 2. Calculer $H$ pour $a=2$, $b=10^{-2}$ avec $H=a^{-1} b^{-8}$: $$H = 2^{-1} \times (10^{-2})^{-8} = \frac{1}{2} \times 10^{16} = 0.5 \times 10^{16} = 5 \times 10^{15}$$ 3. Écriture scientifique: $5 \times 10^{15}$. --- ### Exercice 4 $a \times b = \frac{1}{2}$, $a + b = 2$. Calculer $a^2 + b^2$. ### Étapes: 1. Rappel: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 2. Donc $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 2^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3$. Donc $a^2 + b^2 = 3$.