1. Enunțul problemei: Trebuie să rezolvăm ecuația $$x^5 + 80x - 10 = 0$$ pe mulțimea numerelor reale $$\mathbb{R}$$ folosind principiul contracției, cu o aproximație de $$10^{-1}$$. 2. Principiul contracției afirmă că o funcție $$g$$ definită pe un interval închis $$[a,b]$$ care este contracție (adică există un $$L < 1$$ astfel încât $$|g(x)-g(y)| \leq L|x-y|$$ pentru orice $$x,y \in [a,b]$$) are un punct fix unic în acel interval, iar iterarea $$x_{n+1} = g(x_n)$$ converge către acel punct fix. 3. Reformulăm ecuația pentru a o scrie sub forma $$x = g(x)$$: $$x^5 + 80x - 10 = 0 \implies x^5 = 10 - 80x \implies x = \sqrt[5]{10 - 80x}$$ Deci alegem $$g(x) = \sqrt[5]{10 - 80x}$$. 4. Verificăm dacă $$g$$ este contracție pe un interval rezonabil. Derivata este: $$g'(x) = \frac{d}{dx} (10 - 80x)^{1/5} = \frac{1}{5}(10 - 80x)^{-4/5} \cdot (-80) = -\frac{16}{(10 - 80x)^{4/5}}$$ Pentru $$g$$ să fie contracție, trebuie ca $$|g'(x)| < 1$$ pe intervalul ales. 5. Alegem un interval de test, de exemplu $$[0, 0.2]$$. Calculăm $$|g'(x)|$$ în acest interval: La $$x=0$$: $$|g'(0)| = \frac{16}{10^{4/5}} \approx \frac{16}{6.31} \approx 2.54 > 1$$ La $$x=0.1$$: $$10 - 80 \cdot 0.1 = 10 - 8 = 2$$ $$|g'(0.1)| = \frac{16}{2^{4/5}} \approx \frac{16}{1.74} \approx 9.2 > 1$$ Deci $$g$$ nu este contracție pe acest interval. 6. Încercăm o altă reformulare: $$x^5 + 80x = 10 \implies x = \frac{10 - x^5}{80}$$ Deci $$g(x) = \frac{10 - x^5}{80}$$. Derivata: $$g'(x) = -\frac{5x^4}{80} = -\frac{x^4}{16}$$ Pe orice interval $$[-1,1]$$, $$|g'(x)| \leq \frac{1}{16} < 1$$, deci $$g$$ este contracție pe $$[-1,1]$$. 7. Alegem o valoare inițială $$x_0 = 0$$ și iterăm: $$x_1 = g(x_0) = \frac{10 - 0}{80} = \frac{10}{80} = 0.125$$ $$x_2 = g(x_1) = \frac{10 - (0.125)^5}{80} \approx \frac{10 - 0.00003}{80} = 0.1249996$$ $$x_3 = g(x_2) \approx 0.125$$ 8. Diferența între iterații este mai mică decât $$10^{-1}$$ după prima iterație, deci soluția aproximativă este: $$\boxed{x \approx 0.125}$$ Aceasta satisface ecuația cu o eroare mai mică decât $$10^{-1}$$.