1. نبدأ بكتابة معادلة القطع المكافئ المعطاة: $$\frac{1}{3}x^2 - 4y = 0 \implies y = \frac{1}{12}x^2$$ 2. المطلوب هو إيجاد معادلة قطع مخروطي (قطع ناقص أو قطع زائد) يمس هذا القطع المكافئ، ويكون اختلافه المركزي (فرق نصف المحورين) يساوي $\sqrt{2}$. 3. معادلة القطع المخروطي المركزي بشكل عام: $$\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 4. الاختلاف المركزي (فرق نصف المحورين) هو: $$|a - b| = \sqrt{2}$$ 5. لأن القطع المخروطي يمس القطع المكافئ، يجب أن يكون له نقطة تماس مع المعادلة $y=\frac{1}{12}x^2$. 6. نفترض القطع المخروطي على شكل قطع ناقص: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 7. نعوض $y=\frac{1}{12}x^2$ في معادلة القطع الناقص: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(\frac{1}{12}x^2)^2}{b^2} = 1 \implies \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^4}{144 b^2} = 1$$ 8. نعيد ترتيب المعادلة: $$\frac{x^4}{144 b^2} + \frac{x^2}{a^2} - 1 = 0$$ 9. لتكون نقطة التماس، يجب أن يكون للمعادلة حل واحد فقط في $x^2$، أي المميز يساوي صفر. 10. نعتبر $t = x^2$، المعادلة تصبح: $$\frac{t^2}{144 b^2} + \frac{t}{a^2} - 1 = 0$$ 11. نضرب في $144 b^2$: $$t^2 + \frac{144 b^2}{a^2} t - 144 b^2 = 0$$ 12. المميز: $$\Delta = \left(\frac{144 b^2}{a^2}\right)^2 + 4 \times 144 b^2 = 0$$ 13. نكتب: $$\left(\frac{144 b^2}{a^2}\right)^2 + 576 b^2 = 0$$ 14. هذا غير ممكن لأن المميز لا يمكن أن يكون صفر أو سالب مع هذه القيم الموجبة، إذن نفترض القطع المخروطي قطع زائد: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 15. نعوض $y=\frac{1}{12}x^2$: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{(\frac{1}{12}x^2)^2}{b^2} = 1 \implies \frac{x^2}{a^2} - \frac{x^4}{144 b^2} = 1$$ 16. نعيد ترتيب: $$-\frac{x^4}{144 b^2} + \frac{x^2}{a^2} - 1 = 0$$ 17. نضرب في $-144 b^2$: $$x^4 - \frac{144 b^2}{a^2} x^2 + 144 b^2 = 0$$ 18. نعتبر $t = x^2$: $$t^2 - \frac{144 b^2}{a^2} t + 144 b^2 = 0$$ 19. نقطة التماس تعني أن المميز يساوي صفر: $$\Delta = \left(-\frac{144 b^2}{a^2}\right)^2 - 4 \times 1 \times 144 b^2 = 0$$ 20. نحسب: $$\frac{(144 b^2)^2}{a^4} - 576 b^2 = 0$$ 21. نضرب في $a^4$: $$20736 b^4 - 576 b^2 a^4 = 0$$ 22. نقسم على $576 b^2$: $$36 b^2 - a^4 = 0 \implies a^4 = 36 b^2$$ 23. نأخذ الجذر التربيعي: $$a^2 = 6 b$$ 24. نستخدم شرط الاختلاف المركزي: $$|a - b| = \sqrt{2}$$ 25. نعبر عن $a$ بدلالة $b$: $$a = \sqrt{a^2} = \sqrt{6 b}$$ 26. إذن: $$|\sqrt{6 b} - b| = \sqrt{2}$$ 27. نفرض $\sqrt{6 b} - b = \sqrt{2}$ (نأخذ الحالة الموجبة): 28. نضع $x = \sqrt{b}$، إذن: $$\sqrt{6} x - x^2 = \sqrt{2}$$ 29. نعيد ترتيب: $$x^2 - \sqrt{6} x + \sqrt{2} = 0$$ 30. نستخدم صيغة حل المعادلة التربيعية: $$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \sqrt{2}}}{2}$$ 31. نحسب الجذر الداخلي: $$6 - 4 \sqrt{2} \approx 6 - 5.656 = 0.344$$ 32. إذن: $$x = \frac{2.449 \pm 0.586}{2}$$ 33. الحلول: $$x_1 = 1.517, \quad x_2 = 0.931$$ 34. نعيد $b = x^2$: $$b_1 = 2.301, \quad b_2 = 0.867$$ 35. نحسب $a$ لكل قيمة: $$a_1 = \sqrt{6 b_1} = \sqrt{6 \times 2.301} = \sqrt{13.806} = 3.716$$ $$a_2 = \sqrt{6 b_2} = \sqrt{6 \times 0.867} = \sqrt{5.202} = 2.280$$ 36. معادلة القطع الزائد: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 37. نكتب الحل النهائي: الحل الأول: $$\frac{x^2}{3.716^2} - \frac{y^2}{2.301^2} = 1$$ الحل الثاني: $$\frac{x^2}{2.280^2} - \frac{y^2}{0.867^2} = 1$$ إذًا معادلة القطع المخروطي الذي يمس القطع المكافئ ويحقق شرط الاختلاف المركزي هي قطع زائد بأحد الحلين السابقين.