1. **تمرين الأول - تعريف وحساب الدالة h = g \circ f** نُعطى دالتين f و g مع جداول قيمهما. - جدول g: \(x: -4, 0, 3\) \(g(x): 1, 3, 0\) - جدول f: \(x: -3, -1, 0, 1, 2, 4\) \(f(x): -4, 0, 2, 0, 3, 7\) **1) إيجاد مجموعة تعريف h = g \circ f:** تعريف المركب h هو \(h(x) = g(f(x))\). - أولاً، نوجد قيم \(f(x)\) لكل \(x\) في مجال f وهي \([-3,4]\). - ثم يجب أن تكون \(f(x)\) من مجال التعريف لدالة g، أي \(f(x) \in \{-4,0,3\}\) لأن g معرف فقط عند هذه القيم. نبحث عن \(x\) حيث \(f(x) = -4, 0\text{ أو } 3\): - \(f(-3) = -4\) ✅ - \(f(-1) = 0\) ✅ - \(f(1) = 0\) ✅ - \(f(2) = 3\) ✅ - قيم أخرى \(f(x) = 2,7\) ليست في مجال \(g\). إذاً: \( D_h = \{ -3, -1, 1, 2 \} \) **2) حساب \(h(1), h(-3), h(2)\):** - \(h(1) = g(f(1)) = g(0) = 3\) - \(h(-3) = g(f(-3)) = g(-4) = 1\) - \(h(2) = g(f(2)) = g(3) = 0\) **3) استنتاج اتجاه تغير الدالة h:** - \(f\) تزيد من \(-3\) إلى \(2\) كالآتي: \(f(-3)=-4\) تزداد إلى \(f(2)=3\). - \(g\) تتناقص من \(x=-4\) إلى \(0\) (من 1 إلى 3) ثم تنخفض من \(0\) إلى \(3\). - بما أن \(h(x) = g(f(x))\)، يتبع اتجاه تغير \(h\) تغير \(g\) وفق مخرجات \(f\). **4) دراسة تغير الدالتين p و k معرفتين على \(D=[-4;3]\)** - \(p(x) = g^2(x) + 1 = (g(x))^2 + 1\) - \(k(x) = \sqrt{g(x)}\) - للدلالة: - على المجال \([0;3]\): \(g(0) = 3\) و\(g(3) = 0\) بالتالي: - \(p(0) = 3^2 +1 = 10\) و\(p(3) = 0^2 +1=1\) إذن \(p\) تناقصية هنا. - \(k(0) = \sqrt{3}\) و \(k(3)=0\) بالتالي \(k\) تناقصية. - على المجال \([-4;0[\): \(g(-4)=1\) و\(g(0)=3\). - \(p(-4) = 1^2 +1=2\) و\(p(0) = 10\) إذن \(p\) تزايدية. - \(k(-4) = \sqrt{1} =1\) و\(k(0) = \sqrt{3}\) اذا \(k\) تزايدية. --- 5. **تمرين الثاني - التحليل والدالة التربيعية** \(f(x) = x^2 + \alpha x - \beta\) ونقطتين معطاة: قطع محور \(y=0\) عند \(x=5\) ونقطة \(A(3,-4)\) على المنحنى. - من قطع المحور: \(f(5) = 25 + 5\alpha - \beta = 0\) - من نقطة \(A\): \(f(3) = 9 + 3\alpha - \beta = -4\) نطرح المعادلتين: $$ (25 + 5\alpha - \beta) - (9 + 3\alpha - \beta) = 0 - (-4) \implies 16 + 2\alpha = 4 \implies 2\alpha = -12 \implies \alpha = -6 $$ من معادلة \(f(5)=0\): $$25 + 5(-6) - \beta = 0 \implies 25 - 30 - \beta = 0 \implies -5 - \beta = 0 \implies \beta = -5$$ الدالة: $$ f(x) = x^2 - 6x + 5 $$ **3) إثبات أن** $$f(x) = (x-3)^2 - 4$$ نوسع الجانب الأيمن: $$ (x-3)^2 -4 = x^2 - 6x + 9 -4 = x^2 - 6x + 5 $$ يتطابق مع \(f(x)\). **4) تحليل f كتركيب دالتين** نفصل \(f(x) = r(w(x))\) مع - \(w(x) = x-3\) - \(r(t) = t^2 - 4\) حيث \(t = w(x)\) *اتجاه التغير*: - \(r(t) = t^2 -4\) تزداد على \([0, +\infty[\) وتتناقص على \(]-\infty, 0]\). - \(w(x) = x - 3\) خطية تزداد دائماً. \(f\) تناقصية على \(]-\infty, 3]\) وتزايدية على \([3, +\infty[\). **جدول التغيرات:** \( \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 3 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & +\infty & -4 & +\infty \\ \end{array} \) --- 6. **تمرين الثالث - حساب \((f \circ f \circ f)(-2)\)** دالة \(f\) معرفة على \([-2,3]\) على الشكل البياني التالي (القيم تقريبية من الرسم): - \(f(-2) = 2\) - \(f(0) = 0\) - \(f(2) = 3\) - \(f(3) = 2\) نحسب: \(f(-2) = 2\) \(f(f(-2)) = f(2) = 3\) \(f(f(f(-2))) = f(3) = 2\) إذا: $$ (f \circ f \circ f)(-2) = 2 $$ **النتيجة العامة للعلاقة:** لاحظنا تتابع القيم: \(x_0 = -2\), \(x_1 = f(x_0) = 2\), \(x_2 = f(x_1) = 3\), \(x_3 = f(x_2)=2\), \(x_4 = f(x_3) = 3\), ... أي أن \(f(f(...f(-2)...))\) يكرر القيمتين \(2\) و \(3\) بالتناوب. بالتالي، إذا عد \(n\) زوجياً يكون النتيجة \(2\) وإذا فردياً تكون \(3\). ---