1. ප‍්‍රශ්නය පවසන්නේ: $a, b, c \in \mathbb{R}$ නම්, $$3x^2 - 2(a+b+c)x + bc + ac + ab = 0$$ සමීකරණයේ මුලු මූල නාත්‍යවික බව පෙන්වීමටයි. 2. මුල නාත්‍යවික බව පෙන්වීම සඳහා, සමීකරණයේ ද්විතීයික මුල සූත්‍රය යොදාගෙන, හඳුනාගන්නේ මුලාගේ √වටිනාකම යනු ධනත්මක නොවන බවයි. 3. ද්විතීයික සමීකරණයක දිස්ක්‍රිමිනෙන්ට් $\Delta = b^2 - 4ac$ වේ. මෙහි $a=3$, $b=-2(a+b+c)$, $c = bc + ac + ab$ ය. 4. $\Delta = [-2(a+b+c)]^2 - 4 \times 3 \times (bc+ac+ab)$ 5. $= 4(a+b+c)^2 - 12(bc + ac + ab)$ 6. ඔබ දන්නා අයුරු, $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$. ඒ අනුව, 7. $4(a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)) - 12(ab + bc + ca)$ 8. $= 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 8(ab + bc + ca) - 12(ab + bc + ca)$ 9. $= 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 - 4(ab + bc + ca)$ 10. මෙය යළි ලිවිය හැකි වන්නේ: $$4(a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca))$$ 11. $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) = \frac12[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ 12. එබැවින්, $$\Delta = 4 \times \frac12 [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$$ 13. $(a-b)^2$, $(b-c)^2$, $(c-a)^2$ යනු වගුමුදුල බැගින් ධනමය හෝ සෙරෝදී ඇති හේතුවෙන් $\Delta \geq 0$ වේ. 14. නමුත් මෙම $\Delta$ එක $\Delta = 0$ වීමට, $a=b=c$ විය යුතුය. 15. එහෙයින්, $a, b, c$ අතර වෙනස්කම් ඇති විට $\Delta > 0$ වේ, එනම් මුල නාත්‍යවික වේ. **අවසන් පිළිතුර:** $$\boxed{ ext{සමීකරණයේ මුලා නාත්‍යවිකයි, නිවැරදිව පෙන්වා ඇත.} }$$