1. **Énoncé du problème :** Comparer les nombres donnés et simplifier les expressions. 2. **Calcul de z :** - $z=8{,}9 \times 10^7 \times 2{,}083 \times 10^3$ - Multiplication de mantisses : $8{,}9 \times 2{,}083 = 18{,}5487$ - Somme des exposants : $7 + 3 = 10$ - Donc $$z = 18{,}5487 \times 10^{10} = 1{,}85487 \times 10^{11}$$ (normalisé en notation scientifique) 3. **Calcul de y :** - $$y = \frac{0{,}0008 + 0{,}0000003}{0{,}012} = \frac{0{,}0008003}{0{,}012}$$ - Effectuer la division : $$y \approx 0{,}0666917$$ 4. **Calcul de z (second) :** - Numérateur : $$4{,}082 \times 10^{-4} - 9{,}83 \times 10^{-5} = (0{,}0004082 - 0{,}0000983) = 0{,}0003099$$ - Dénominateur : $$5{,}3 \times 10^{-1} = 0{,}53$$ - Division : $$z = \frac{0{,}0003099}{0{,}53} \approx 0{,}0005847$$ 5. **Comparer les racines carrées :** a) $$\sqrt{5} - 2 \quad \text{et} \quad \sqrt{9} - 4\sqrt{5}$$ - $$\sqrt{5} \approx 2{,}236$$ \; donc $$\sqrt{5} - 2 \approx 0{,}236$$ - $$\sqrt{9} = 3$$ donc $$3 - 4 \times 2{,}236 = 3 - 8{,}944 = -5{,}944$$ - Donc $$\sqrt{5} - 2 > \sqrt{9} - 4\sqrt{5}$$ b) $$1{,}5 - 3 \quad \text{et} \quad \sqrt{14} - 6\sqrt{5}$$ - $$1{,}5 - 3 = -1{,}5$$ - $$\sqrt{14} \approx 3{,}742, \quad 6\sqrt{5} \approx 13{,}416$$ donc $$3{,}742 - 13{,}416 = -9{,}674$$ - Donc $$1{,}5 - 3 > \sqrt{14} - 6\sqrt{5}$$ c) $$2\sqrt{5} - 5 \quad \text{et} \quad \sqrt{45} - 20\sqrt{5}$$ - $$2 \times 2{,}236 - 5 = 4{,}472 - 5 = -0{,}528$$ - $$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} = 3 \times 2{,}236 = 6{,}708$$ - $$20 \times 2{,}236 = 44{,}72$$ donc $$6{,}708 - 44{,}72 = -38{,}012$$ - Donc $$2\sqrt{5} - 5 > \sqrt{45} - 20\sqrt{5}$$ 6. **Simplification de $$\sqrt{45} - 20\sqrt{5}$$ :** - $$\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$ donc - $$\sqrt{45} - 20\sqrt{5} = 3\sqrt{5} - 20\sqrt{5} = (3 - 20)\sqrt{5} = -17\sqrt{5}$$ 7. **Valeurs absolues :** a) $$a = 10^{-4} - 10^{-3} = 0{,}0001 - 0{,}001 = -0{,}0009$$ donc $$|a| = 0{,}0009$$; $$a = 0 \times 10^{-3} - 10^{-2} = 0 - 0{,}01 = -0{,}01$$ donc $$|a| = 0{,}01$$ b) $$a = 11 - 4 = 7$$ donc $$|a| = 7$$; $$a = 13 - 41 = -28$$ donc $$|a| = 28$$ c) $$a = -2 - \sqrt{2} \approx -2 - 1{,}414 = -3{,}414$$ donc $$|a| = 3{,}414$$; $$a = -\sqrt{2} - \sqrt{3} \approx -1{,}414 - 1{,}732 = -3{,}146$$ donc $$|a| = 3{,}146$$