1. **Énoncé du problème :** Comparer les nombres $A = \frac{x}{x+1}$ et $B = \frac{y}{y+1}$ avec $0 < x < y$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour comparer deux fractions de la forme $\frac{t}{t+1}$ où $t > 0$, on peut étudier la fonction $f(t) = \frac{t}{t+1}$. 3. **Étude de la fonction $f(t)$ :** - Calculons la dérivée : $$f'(t) = \frac{(t+1) \cdot 1 - t \cdot 1}{(t+1)^2} = \frac{t+1 - t}{(t+1)^2} = \frac{1}{(t+1)^2} > 0 \quad \text{pour } t > 0.$$ - La dérivée est strictement positive, donc $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. 4. **Application :** Puisque $0 < x < y$ et $f$ est croissante, on a : $$f(x) < f(y) \implies \frac{x}{x+1} < \frac{y}{y+1}.$$ 5. **Conclusion :** $$A = \frac{x}{x+1} < \frac{y}{y+1} = B.$$