1. Énoncé du problème : Comparer les nombres $A = \frac{x}{x+1}$ et $B = \frac{y}{y+1}$ avec $0 < x < y$. 2. Formule et règles importantes : Pour comparer deux fractions de la forme $\frac{a}{a+1}$ et $\frac{b}{b+1}$ avec $a,b > 0$, on peut étudier le signe de la différence $A - B$. 3. Calcul de la différence : $$A - B = \frac{x}{x+1} - \frac{y}{y+1} = \frac{x(y+1) - y(x+1)}{(x+1)(y+1)}$$ 4. Simplification du numérateur : $$x(y+1) - y(x+1) = xy + x - yx - y = x - y$$ 5. Donc : $$A - B = \frac{x - y}{(x+1)(y+1)}$$ 6. Analyse du signe : - Le dénominateur $(x+1)(y+1)$ est strictement positif car $x > 0$ et $y > 0$. - Le numérateur $x - y$ est négatif car $x < y$. 7. Conclusion : $$A - B < 0 \implies A < B$$ Donc, pour $0 < x < y$, on a $\frac{x}{x+1} < \frac{y}{y+1}$.