1. **مقارنة العددين $2\sqrt{7}$ و $7\sqrt{2}$** نبدأ بحساب قيمة كل عدد تقريبا: $2\sqrt{7} = 2 \times 2.6458 = 5.2916$ $7\sqrt{2} = 7 \times 1.4142 = 9.8994$ إذاً، $7\sqrt{2} > 2\sqrt{7}$. 2. **مقارنة العددين $3 + 7\sqrt{2}$ و $3 + 2\sqrt{7}$** نحسب الجزء الجذري لكل عدد: $7\sqrt{2} = 9.8994$ $2\sqrt{7} = 5.2916$ بالتالي: $3 + 7\sqrt{2} = 3 + 9.8994 = 12.8994$ $3 + 2\sqrt{7} = 3 + 5.2916 = 8.2916$ إذاً، $3 + 7\sqrt{2} > 3 + 2\sqrt{7}$. 3. **التمرين الثاني: تأطير التعبيرات المعطاة** معطى: $-7 \leq y \leq -4$ و $3 \leq x \leq 6$ (أ) تأطير $7y$: نضرب المتباينة في 7 (عدد موجب، لا يتغير اتجاه المتباينة): $$7 \times (-7) \leq 7y \leq 7 \times (-4)$$ $$-49 \leq 7y \leq -28$$ (ب) تأطير $y^2$: بما أن $y$ سالب، نأخذ القيم المطلقة: $|y|$ بين 4 و7، إذن $y^2$ بين $4^2=16$ و $7^2=49$. لذلك: $$16 \leq y^2 \leq 49$$ (ج) تأطير $x + y$: نجمع الحدود: أدنى قيمة: $3 + (-7) = -4$ أعلى قيمة: $6 + (-4) = 2$ إذا: $$-4 \leq x + y \leq 2$$ (د) تأطير $\frac{1}{y}$: بما أن $y$ سالب، ونقلب المتباينة عند القسمة على عدد سالب: $$-7 \leq y \leq -4 \Rightarrow \frac{1}{-7} \geq \frac{1}{y} \geq \frac{1}{-4}$$ أي: $$-\frac{1}{7} \geq \frac{1}{y} \geq -\frac{1}{4}$$ نرتب من الأصغر للأكبر: $$-\frac{1}{4} \leq \frac{1}{y} \leq -\frac{1}{7}$$ (هـ) تأطير $x - y$: أدنى قيمة: $x$ أدنى قيمة 3 و $-y$ أعلى قيمة (لأن $y$ سالب) هي 7 إذا أدنى قيمة: $3 - (-7) = 3 + 7 = 10$ أعلى قيمة: $x$ أعلى قيمة 6 و $-y$ أدنى قيمة 4 إذا أعلى قيمة: $6 - (-4) = 6 + 4 = 10$ لكن هذا يشير إلى أن أدنى وأعلى قيمة متساويتان، نعيد النظر: نحسب أدنى قيمة $x - y$: $x$ أدنى قيمة 3 و $y$ أعلى قيمة -4 $3 - (-4) = 7$ أعلى قيمة: $x$ أعلى قيمة 6 و $y$ أدنى قيمة -7 $6 - (-7) = 13$ إذا: $$7 \leq x - y \leq 13$$ (و) تأطير $xy$: نحسب جميع القيم الممكنة: $x$ بين 3 و6، $y$ بين -7 و-4 لأن $y$ سالب و$x$ موجب، حاصل الضرب سالب. أدنى قيمة (أكبر قيمة سالبة) هي عندما $x$ أصغر و$y$ أكبر: $3 \times (-4) = -12$ أعلى قيمة (أقل قيمة سالبة) هي عندما $x$ أكبر و$y$ أصغر: $6 \times (-7) = -42$ لذلك: $$-42 \leq xy \leq -12$$ 4. **تأطير $a$ حيث $2 \leq \frac{3a - 5}{8} \leq 9$** نضرب المتباينة في 8: $$16 \leq 3a - 5 \leq 72$$ نجمع 5: $$21 \leq 3a \leq 77$$ نقسم على 3: $$7 \leq a \leq \frac{77}{3} = 25.6667$$ 5. **التمرين الثالث: حساب $MN$** معطى: $AB=9$, $AO=6$, $NO=2$, $BO=12$, و $MN \parallel AB$ بما أن $MN \parallel AB$ و$N$ نقطة على $AO$، فإن $MN$ يتناسب مع $AB$ حسب النسبة $\frac{NO}{AO}$: $$MN = AB \times \frac{NO}{AO} = 9 \times \frac{2}{6} = 3$$ 6. **برهان أن $EF \parallel OA$ مع $BE=4$ و $BF=3$** إذا كان $EF \parallel OA$، فإن النسب بين القطع المتقابلة متساوية. نحسب النسبة: $$\frac{BE}{BF} = \frac{4}{3}$$ وبما أن هذه النسبة ثابتة، فإن $EF$ و $OA$ متوازيان. **النتائج النهائية:** - $7\sqrt{2} > 2\sqrt{7}$ - $3 + 7\sqrt{2} > 3 + 2\sqrt{7}$ - $-49 \leq 7y \leq -28$ - $16 \leq y^2 \leq 49$ - $-4 \leq x + y \leq 2$ - $-\frac{1}{4} \leq \frac{1}{y} \leq -\frac{1}{7}$ - $7 \leq x - y \leq 13$ - $-42 \leq xy \leq -12$ - $7 \leq a \leq 25.6667$ - $MN = 3$ - $EF \parallel OA$