1. نريد مقارنة بين $81^{41}$ و $55^{77}$ لمعرفة أيهما أكبر. 2. نستخدم اللوغاريتمات لتحليل المقارنة بدون آلة حاسبة. إذا كان $a^m > b^n$، فهذا يعني أن $m \log(a) > n \log(b)$. 3. نحسب تقريبياً اللوغاريتمات العشرية للأعداد 81 و 55: - $\log(81) = \log(3^4) = 4 \log(3) \approx 4 \times 0.4771 = 1.9084$ - $\log(55) \approx \log(5.5 \times 10) = \log(5.5) + 1 \approx 0.7404 + 1 = 1.7404$ 4. نضرب اللوغاريتمات في الأسس: - $41 \times 1.9084 = 78.2444$ - $77 \times 1.7404 = 134.0108$ 5. بما أن $78.2444 < 134.0108$، إذن $41 \log(81) < 77 \log(55)$، وبالتالي $81^{41} < 55^{77}$. 6. النتيجة: $55^{77}$ أكبر من $81^{41}$.