1. **مقارنة العددين $7\sqrt{2}$ و $2\sqrt{7}$** نبدأ بحساب قيمة كل عدد تقريبا: $7\sqrt{2} = 7 \times 1.414 \approx 9.898$ $2\sqrt{7} = 2 \times 2.645 \approx 5.29$ إذاً، $7\sqrt{2} > 2\sqrt{7}$. 2. **مقارنة العددين $3+7\sqrt{2}$ و $3+2\sqrt{7}$** نحسب كل عدد: $3+7\sqrt{2} \approx 3 + 9.898 = 12.898$ $3+2\sqrt{7} \approx 3 + 5.29 = 8.29$ إذاً، $3+7\sqrt{2} > 3+2\sqrt{7}$. 3. **التمرين الثاني: تأطير التعبيرات** معطى: $-7 \leq y \leq -4$ و $3 \leq x \leq 6$ (تم تصحيح الترتيب لأن $6 \leq x \leq 3$ غير صحيح) (أ) تأطير $7y - 5x$: أقل قيمة: $7 \times (-7) - 5 \times 6 = -49 - 30 = -79$ أعلى قيمة: $7 \times (-4) - 5 \times 3 = -28 - 15 = -43$ إذاً: $-79 \leq 7y - 5x \leq -43$. (ب) تأطير $y^2$: بما أن $y$ بين $-7$ و $-4$، فإن $y^2$ بين $16$ و $49$. إذاً: $16 \leq y^2 \leq 49$. (ج) تأطير $x + y$: أقل قيمة: $3 + (-7) = -4$ أعلى قيمة: $6 + (-4) = 2$ إذاً: $-4 \leq x + y \leq 2$. (د) تأطير $\frac{1}{y}$: بما أن $y$ سالب بين $-7$ و $-4$، فإن $\frac{1}{y}$ بين $\frac{1}{-4} = -0.25$ و $\frac{1}{-7} \approx -0.1429$. لأن الدالة $\frac{1}{y}$ تناقصية على الأعداد السالبة، الحد الأعلى هو $-0.1429$ والحد الأدنى $-0.25$. إذاً: $-0.25 \leq \frac{1}{y} \leq -0.1429$. (هـ) تأطير $xy$: نحسب القيم الممكنة: أقل قيمة: $3 \times (-7) = -21$ أعلى قيمة: $6 \times (-4) = -24$ (لكن $-24 < -21$) نبحث القيم الأخرى: $3 \times (-4) = -12$, $6 \times (-7) = -42$ أقل قيمة هي $-42$, أعلى قيمة هي $-12$. إذاً: $-42 \leq xy \leq -12$. (و) تأطير $x - y$: أقل قيمة: $3 - (-4) = 7$ أعلى قيمة: $6 - (-7) = 13$ إذاً: $7 \leq x - y \leq 13$. 4. **تأطير $a$ حيث $9 \leq \frac{3a - 5}{8} \leq 2x$** نضرب جميع الأطراف في 8: $72 \leq 3a - 5 \leq 16x$ نجمع 5: $77 \leq 3a \leq 16x + 5$ نقسم على 3: $\frac{77}{3} \leq a \leq \frac{16x + 5}{3}$ مع $3 \leq x \leq 6$، أقل قيمة للحد الأعلى: $\frac{16 \times 3 + 5}{3} = \frac{48 + 5}{3} = \frac{53}{3} \approx 17.67$ أعلى قيمة للحد الأعلى: $\frac{16 \times 6 + 5}{3} = \frac{96 + 5}{3} = \frac{101}{3} \approx 33.67$ إذاً: $25.67 \leq a \leq 17.67$ إلى $33.67$ (يجب ترتيب الحدود حسب القيم) بما أن الحد الأدنى ثابت $\frac{77}{3} \approx 25.67$ والحد الأعلى يتغير بين $17.67$ و $33.67$، الحد الأعلى الأدنى هو $17.67$ وهو أقل من الحد الأدنى، إذن لا يوجد حل إذا أخذنا $x$ في هذا المجال. ربما هناك خطأ في المعطيات. 5. **التمرين الثالث:** معطى: $AB=9$, $AO=6$, $NO=2$, $BO=12$, و $(MN) \parallel (AB)$ (1) حساب $MN$: بما أن $N$ على $AO$ و $NO=2$، فإن $AN = AO - NO = 6 - 2 = 4$. بما أن $MN \parallel AB$ و $M$ على $BO$، فإن النسبة بين القطع متساوية: $$\frac{MN}{AB} = \frac{AN}{AO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ إذاً: $$MN = AB \times \frac{2}{3} = 9 \times \frac{2}{3} = 6$$ (2) إثبات أن $(EF) \parallel (OA)$ مع $BE=4$ و $BF=3$: إذا كان $EF \parallel OA$، فإن المثلثات المتشابهة تعطي: $$\frac{BE}{BF} = \frac{EO}{FA}$$ لكن المعطيات غير كافية لإثبات ذلك بشكل مباشر بدون معلومات إضافية عن النقاط $E$ و $F$ و $A$ و $O$. **الملخص:** - $7\sqrt{2} > 2\sqrt{7}$ - $3+7\sqrt{2} > 3+2\sqrt{7}$ - تأطيرات التعبيرات حسب المعطيات - $MN = 6$ - إثبات التوازي يحتاج معلومات إضافية