1. Problem 2.98: Klient banku spłacił pożyczkę w wysokości 13923 w czterech ratach, z których każda następna była o 10% większa od poprzedniej. Oblicz kwotę pierwszej i czwartej raty. 2. Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$ gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, $q$ to iloraz ciągu. 3. Ponieważ każda rata jest o 10% większa, to iloraz ciągu wynosi $$q = 1 + 0.10 = 1.1$$ 4. Suma czterech rat to suma ciągu geometrycznego: $$S_4 = a_1 \frac{q^4 - 1}{q - 1} = 13923$$ 5. Podstawiamy $q=1.1$: $$a_1 \frac{1.1^4 - 1}{1.1 - 1} = 13923$$ 6. Obliczamy licznik: $$1.1^4 = 1.4641$$ więc $$\frac{1.4641 - 1}{0.1} = \frac{0.4641}{0.1} = 4.641$$ 7. Zatem: $$a_1 \cdot 4.641 = 13923 \Rightarrow a_1 = \frac{13923}{4.641} \approx 3000$$ 8. Czwarta rata: $$a_4 = a_1 \cdot q^{3} = 3000 \cdot 1.1^3 = 3000 \cdot 1.331 = 3993$$ --- 1. Problem 2.100: Ciąg $(a_n)$ jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, w którym $a_3 = -0.36$ oraz $a_6 = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}$. Wykazać, że ciąg jest malejący i wyznaczyć ogólny wyraz ciągu. 2. Wzór ogólny: $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$ 3. Dane: $$a_3 = a_1 q^2 = -0.36$$ $$a_6 = a_1 q^5 = -\frac{2}{3}$$ 4. Dzielimy równania stronami: $$\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 q^5}{a_1 q^2} = q^3 = \frac{-\frac{2}{3}}{-0.36} = \frac{2/3}{0.36} = \frac{2/3}{36/100} = \frac{2/3}{9/25} = \frac{2}{3} \cdot \frac{25}{9} = \frac{50}{27}$$ 5. Zatem: $$q^3 = \frac{50}{27}$$ $$q = \sqrt[3]{\frac{50}{27}} = \frac{\sqrt[3]{50}}{3} \approx 1.271$$ 6. Obliczamy $a_1$: $$a_3 = a_1 q^2 = -0.36 \Rightarrow a_1 = \frac{-0.36}{q^2} = \frac{-0.36}{(1.271)^2} = \frac{-0.36}{1.615} \approx -0.223$$ 7. Ogólny wyraz: $$a_n = -0.223 \cdot (1.271)^{n-1}$$ 8. Ciąg jest malejący, jeśli $q < 1$ i $a_1 < 0$ lub $q > 1$ i $a_1 < 0$ z odpowiednim znakiem. Tutaj $q > 1$ i $a_1 < 0$, więc ciąg jest malejący, ponieważ kolejne wyrazy rosną w wartości bezwzględnej, ale są ujemne i zbliżają się do zera od strony ujemnej. --- 1. Problem 2.111: Wykaż, że nieskończony ciąg $(b_n)$ o wyrazie ogólnym $$b_n = 2^{\frac{1+2+3+ \ldots + n}{n}}$$ jest ciągiem geometrycznym. Podaj pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu. 2. Suma pierwszych $n$ liczb naturalnych: $$1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$ 3. Zatem: $$b_n = 2^{\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}} = 2^{\frac{n+1}{2}}$$ 4. Możemy zapisać: $$b_n = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{n}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot (2^{\frac{1}{2}})^n$$ 5. To jest ciąg geometryczny z pierwszym wyrazem: $$b_1 = 2^{\frac{1+1}{2}} = 2^1 = 2$$ 6. Iloraz ciągu: $$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = 2^{\frac{(n+2)}{2}} / 2^{\frac{(n+1)}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$$ Odpowiedź: ciąg jest geometryczny z $b_1 = 2$ i ilorazem $q = \sqrt{2}$.