1. **Énoncé du problème :** Calculer $AB$ et $A^2 + B^2$ avec $$A = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1$$ $$B = \sqrt{\sqrt{2} + 1} - \sqrt{\sqrt{2} - 1}$$ 2. **Calcul de $A$ :** $$A = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2}$$ 3. **Calcul de $B$ :** Posons $x = \sqrt{2} + 1$ et $y = \sqrt{2} - 1$. Alors $$B = \sqrt{x} - \sqrt{y}$$ 4. **Calcul de $AB$ :** $$AB = A \times B = 2\sqrt{2} (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 2\sqrt{2} (\sqrt{\sqrt{2} + 1} - \sqrt{\sqrt{2} - 1})$$ 5. **Calcul de $A^2 + B^2$ :** On sait que $$A^2 + B^2 = (A + B)^2 - 2AB$$ Mais calculons directement : $$A^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$$ $$B^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$$ Calculons $x + y$ et $xy$ : $$x + y = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2}$$ $$xy = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$$ Donc $$B^2 = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{1} = 2\sqrt{2} - 2$$ Ainsi $$A^2 + B^2 = 8 + 2\sqrt{2} - 2 = 6 + 2\sqrt{2}$$ 6. **Calcul de $(A^4 + B^4)\sqrt{1 + \sqrt{2}}$ :** D'abord calculons $A^4 + B^4$. On utilise $$A^4 + B^4 = (A^2 + B^2)^2 - 2A^2B^2$$ Calculons $A^2B^2$ : $$A^2B^2 = (AB)^2$$ Calculons $AB$ : $$AB = 2\sqrt{2} (\sqrt{x} - \sqrt{y})$$ On a $$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = B^2 = 2\sqrt{2} - 2$$ Donc $$AB = 2\sqrt{2} \times (\sqrt{x} - \sqrt{y})$$ $$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 (2\sqrt{2} - 2) = 8 (2\sqrt{2} - 2) = 16\sqrt{2} - 16$$ Donc $$A^2B^2 = 16\sqrt{2} - 16$$ Maintenant $$(A^2 + B^2)^2 = (6 + 2\sqrt{2})^2 = 36 + 24\sqrt{2} + 8 = 44 + 24\sqrt{2}$$ Donc $$A^4 + B^4 = (44 + 24\sqrt{2}) - 2(16\sqrt{2} - 16) = 44 + 24\sqrt{2} - 32\sqrt{2} + 32 = 76 - 8\sqrt{2}$$ Enfin $$(A^4 + B^4)\sqrt{1 + \sqrt{2}} = (76 - 8\sqrt{2}) \sqrt{1 + \sqrt{2}}$$ 7. **Calcul de $\frac{A}{B} + \frac{B}{A}$ :** On écrit $$\frac{A}{B} + \frac{B}{A} = \frac{A^2 + B^2}{AB}$$ On a déjà $$A^2 + B^2 = 6 + 2\sqrt{2}$$ $$AB = 2\sqrt{2} (\sqrt{x} - \sqrt{y})$$ On peut simplifier $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ : $$\sqrt{x} - \sqrt{y} = \sqrt{\sqrt{2} + 1} - \sqrt{\sqrt{2} - 1}$$ On peut multiplier par le conjugué : $$= \frac{(\sqrt{\sqrt{2} + 1} - \sqrt{\sqrt{2} - 1})(\sqrt{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{\sqrt{2} - 1})}{\sqrt{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{\sqrt{2} - 1}} = \frac{(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{\sqrt{2} - 1}} = \frac{2}{\sqrt{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{\sqrt{2} - 1}}$$ Donc $$AB = 2\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{\sqrt{2} - 1}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{\sqrt{2} - 1}}$$ Ainsi $$\frac{A}{B} + \frac{B}{A} = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{AB} = (6 + 2\sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{\sqrt{2} - 1}}{4\sqrt{2}}$$ **Réponse finale :** $$AB = 2\sqrt{2} (\sqrt{\sqrt{2} + 1} - \sqrt{\sqrt{2} - 1})$$ $$A^2 + B^2 = 6 + 2\sqrt{2}$$ $$(A^4 + B^4)\sqrt{1 + \sqrt{2}} = (76 - 8\sqrt{2}) \sqrt{1 + \sqrt{2}}$$ $$\frac{A}{B} + \frac{B}{A} = (6 + 2\sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{\sqrt{2} - 1}}{4\sqrt{2}}$$