1. Énoncé du problème : Nous avons deux nombres rationnels non nuls $x$ et $y$ qui satisfont les équations : $$-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{x} = \frac{7}{-10}$$ et $$-\frac{3}{2y} - \left(-\frac{2}{6}\right) - \frac{11}{3} = 0.$$ Nous devons calculer les valeurs de $x$ et $y$. 2. Première équation : $$-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{x} = -\frac{7}{10}.$$ Simplification de la partie gauche sans $\frac{1}{x}$ : $$-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}.$$ L'équation devient : $$-\frac{1}{6} + \frac{1}{x} = -\frac{7}{10}.$$ Ajoutons $\frac{1}{6}$ des deux côtés : $$\frac{1}{x} = -\frac{7}{10} + \frac{1}{6}.$$ Calculons le membre de droite en trouvant un dénominateur commun, qui est 30 : $$-\frac{7}{10} = -\frac{21}{30}, \quad \frac{1}{6} = \frac{5}{30},$$ donc : $$\frac{1}{x} = -\frac{21}{30} + \frac{5}{30} = -\frac{16}{30} = -\frac{8}{15}.$$ Ainsi : $$x = -\frac{15}{8}.$$ 3. Deuxième équation : $$-\frac{3}{2y} - \left(-\frac{2}{6}\right) - \frac{11}{3} = 0.$$ Simplifions le terme $-\left(-\frac{2}{6}\right)$ : $$-\left(-\frac{2}{6}\right) = +\frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$ L'équation devient : $$-\frac{3}{2y} + \frac{1}{3} - \frac{11}{3} = 0.$$ Simplifions $\frac{1}{3} - \frac{11}{3} = -\frac{10}{3}$ : $$-\frac{3}{2y} - \frac{10}{3} = 0.$$ Isolons le terme avec $y$ : $$-\frac{3}{2y} = \frac{10}{3}.$$ Multiplions les deux côtés par $-1$ : $$\frac{3}{2y} = -\frac{10}{3}.$$ Inversions des deux côtés (en rappelant que $y \neq 0$) : $$\frac{2y}{3} = -\frac{3}{10}.$$ Multiplions les deux côtés par $\frac{3}{2}$ : $$y = -\frac{3}{10} \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{20}.$$ 4. Résultat final : $$x = -\frac{15}{8}, \quad y = -\frac{9}{20}.$$