1. Énoncé du problème : Calculer et simplifier les expressions suivantes : $$A = \frac{1}{7} \times \left(\frac{4}{7} - \frac{3}{7}\right), \quad B = \left(-\frac{5}{-3}\right) \times \frac{2}{3} \times \frac{5}{2}, \quad C = \frac{4 - \frac{2}{3}}{4 + \frac{2}{3}}$$ 2. Rappel des règles importantes : - Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut un dénominateur commun. - Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. - Simplifier une fraction consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. 3. Calcul de $A$ : $$\frac{4}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4 - 3}{7} = \frac{1}{7}$$ Donc, $$A = \frac{1}{7} \times \frac{1}{7} = \frac{1 \times 1}{7 \times 7} = \frac{1}{49}$$ 4. Calcul de $B$ : D'abord, simplifions $-\frac{5}{-3}$ : les signes négatifs s'annulent, donc $$-\frac{5}{-3} = \frac{5}{3}$$ Ensuite, $$B = \frac{5}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{5}{2}$$ Multiplier les numérateurs : $5 \times 2 \times 5 = 50$ Multiplier les dénominateurs : $3 \times 3 \times 2 = 18$ Donc, $$B = \frac{50}{18}$$ Simplifions par 2 : $$B = \frac{25}{9}$$ 5. Calcul de $C$ : Calculons le numérateur : $$4 - \frac{2}{3} = \frac{12}{3} - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$$ Calculons le dénominateur : $$4 + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$$ Donc, $$C = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{14}{3}} = \frac{10}{3} \times \frac{3}{14} = \frac{10 \times 3}{3 \times 14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$$ 6. Résultats finaux : $$A = \frac{1}{49}, \quad B = \frac{25}{9}, \quad C = \frac{5}{7}$$