1. Énoncé du problème : Calculer les expressions $A = - \left(\frac{7}{2} + 3\right) + \frac{55}{99} \times 77 \times \frac{3^2}{110}$ et $B = \frac{8}{5} - \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{5}$.\n2. Calcul de $A$ : \n - D'abord, calculons $\frac{7}{2} + 3$. Convertissons 3 en fraction : $3 = \frac{6}{2}$. Donc $\frac{7}{2} + \frac{6}{2} = \frac{13}{2}$.\n - Donc $A = - \frac{13}{2} + \frac{55}{99} \times 77 \times \frac{3^2}{110}$.\n - Simplifions $\frac{55}{99}$. Le PGCD est 11, donc $\frac{55}{99} = \frac{5}{9}$.\n - Puis $3^2 = 9$.\n - Le produit devient $\frac{5}{9} \times 77 \times \frac{9}{110}$.\n - Simplifions : $\frac{9}{9} = 1$, on obtient $5 \times 77 / 110$.\n - Simplifions $\frac{77}{110}$. Le PGCD est 11, donc $\frac{77}{110} = \frac{7}{10}$.\n - Donc $5 \times \frac{7}{10} = \frac{35}{10} = 3.5$.\n - Enfin, $A = - \frac{13}{2} + 3.5 = -6.5 + 3.5 = -3$.\n3. Calcul de $B$ : \n - $B = \frac{8}{5} - \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{5}$.\n - Calcul du produit : $\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.\n - Donc $B = \frac{8}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{8}{5}$.\n4. Calcul et simplification des expressions :\n - $C = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$.\n - $D = \sqrt{7^2} - \sqrt{28} + \sqrt{63} = 7 - \sqrt{28} + \sqrt{63}$.\n - $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$.\n - $\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$.\n - Donc $D = 7 - 2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 7 + \sqrt{7}$.\n5. Rendre rationnel les dénominateurs :\n - $E = \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{3\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{2\sqrt{5}}{15}$.\n - $F = \frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{3 - 5} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{-2} = -\frac{5}{2}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.\n - $G = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 5\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 5(2 - \sqrt{2}) = 10 - 5\sqrt{2}$.\n6. Développer et simplifier $H = (\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 2) + (\sqrt{3} + 1)^2$ :\n - $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.\n - $2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 2) = 2[(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - 2] = 2[3 + \sqrt{3} - 2] = 2(1 + \sqrt{3}) = 2 + 2\sqrt{3}$.\n - $(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.\n - Somme $= (4 - 2\sqrt{3}) + (2 + 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = (4 + 2 + 4) + (-2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 10 + 2\sqrt{3}$.\n7. Factoriser $I = (\sqrt{3} - x) + x(\sqrt{3} - x) = (\sqrt{3} - x)(1 + x)$.\n8. Factoriser $J = 25x^2 - 4 = (5x - 2)(5x + 2)$ (différence de carrés).\n9. Écriture scientifique :\n - $K = \frac{63000000}{0.00009} = \frac{6.3 \times 10^7}{9 \times 10^{-5}} = \frac{6.3}{9} \times 10^{7+5} = 0.7 \times 10^{12} = 7 \times 10^{11}$.\n - $L = 801.2 \times 0.0073 \times 10^3 = 801.2 \times 7.3 \times 10^{-3} \times 10^3 = 801.2 \times 7.3 = 5851$ (arrondi) ; l'écriture scientifique est environ $5.85 \times 10^3$.\n10. Montrer $H = \frac{b^{a-4} \times (a^{-3} b)^{-5}}{a^{11} \times (a b^{2})^4 \times b^{2}} = a^{-4} b^{-14}$ :\n - $H = \frac{b^{a-4} \times a^{15} b^{-5}}{a^{11} \times a^4 b^{8} \times b^2} = \frac{a^{15} b^{a-4-5}}{a^{11+4} b^{8+2}} = \frac{a^{15} b^{a - 9}}{a^{15} b^{10}} = b^{a - 9 - 10} = b^{a - 19}$.\n - Pour que $H = a^{-4} b^{-14}$, une faute a été commise. Corrigeons en reprenant l'expression plus précisément.\n - $(a^{-3} b)^{-5} = a^{15} b^{-5}$.\n - $(a b^2)^4 = a^4 b^{8}$.\n - Donc $H = \frac{b^{a-4} a^{15} b^{-5}}{a^{11} a^{4} b^{8} b^{2}} = \frac{a^{15} b^{a-9}}{a^{15} b^{10}} = b^{a - 19}$.\n - Comme $a$ est une variable, soit il manque la substitution $a=5$, alors $b^{5 - 19} = b^{-14}$, alors $H = a^{-4} b^{-14}$ avec $a=1$. Supposons que $a=1$ donc $b^{1 - 19} = b^{-18}$. Néanmoins, on considère $H = a^{-4} b^{-14}$ donnée.\n - Le texte demande de montrer cette égalité, on considère la simplification suivante : regroupons $a$ et $b$ séparément.\n - $H = b^{a-4} \, a^{-3 \times -5} b^{-5} / (a^{11} a^4 b^{8} b^2) = b^{a-4-5-8-2} a^{15 -11 -4} = b^{a - 19} a^{0} = b^{a - 19}$.\n - Donc pour obtenir $a^{-4} b^{-14}$, supposer $a^{-4} b^{-14} = b^{a - 19}$ implique $a = -4$ et $a - 19 = -14$ soit $a=5$, contradiction.\n - Il semble qu'il y ait un souci dans l'expression initiale, mais on suivra le résultat donné.\n11. Calcul de $H$ pour $a=2$, $b=10^{-2}$ en utilisant $H = a^{-4} b^{-14}$ :\n - $a^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0.0625$.\n - $b^{-14} = (10^{-2})^{-14} = 10^{28}$.\n - Donc $H = 0.0625 \times 10^{28} = 6.25 \times 10^{26}$.\n12. Écriture scientifique de $H$ : $6.25 \times 10^{26}$.\n13. Calcul de $a^2 + b^2$ avec $a b = \frac{1}{2}$ et $a + b = 2$ :\n - On utilise l'identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.\n - Donc $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 2^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3$.