1. Énonçons le problème : Calculer l'expression de $A$ donnée par $$A = db - ca bdc - (C\alpha - b+ + C+1 \det A b + 1 \det)$$ pour $(a=1,b=1,\lambda=-1)$, Simplifier $A$ et démontrer que $A \in \mathbb{Z}$ pour tout $a,b,c \neq 0$. 2. Remarquons que l'énoncé contient des symboles ambigus et des termes mal définis. Afin d'avancer, faisons les suppositions suivantes : - $\det$ désigne un déterminant d'une matrice liée aux lettres $a,b,c$, possiblement $\det A$, $\det B$, $\det C$. - $b+$, $C+$, $bdc$ etc. sont peut-être des expressions combinant ces variables. - $\alpha$ est une constante ou paramètre. 3. En prenant $a=1$, $b=1$, $\lambda=-1$, remplaçons dans l'expression et simplifions au mieux : - Puisque $a=1$ et $b=1$, alors tout terme $ab$ est $1$, $db$ devient $d$, etc. - L'expression devient $$A = d - c \cdot d c - (C \alpha - 1 + C + 1) \det A + 1 \det$$ où certaines expressions restent à expliciter. 4. Supposons que $\det A = \det C = 1$ ou autre hypothèse raisonnable vu que $\det C \neq 1$ selon l'énoncé, mais manquant de précision pour continuer. 5. Simplification formelle non réalisable sans plus d'informations. Cependant, la consigne finale est de montrer que $A \in \mathbb{Z}$ pour tout $a,b,c \neq 0$. 6. En général, si $A$ est une expression polynomiale en $a,b,c$ avec coefficients entiers et opérateurs arithmétiques classiques, $A$ sera dans $\mathbb{Z}$ dès que $a,b,c \in \mathbb{Z}$. 7. Conclusion : Le manque de clarté de l'expression empêche une simplification explicite. En résumé, on a tenté d'interpréter les symboles et de simplifier sous les hypothèses données, mais il faut une expression claire de $A$ pour un calcul rigoureux. Néanmoins, l'énoncé suggère que $A$ est entier pour tout $a,b,c \neq 0$.