1. Mari kita buktikan identitas pertama: $$12 - 22 + 32 - \cdots + (-1)^{n-1} n^2 = (-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}$$ 2. Pernyataan ini adalah jumlah deret dengan tanda bergantian dan kuadrat bilangan bulat. 3. Kita gunakan induksi matematika untuk membuktikan. 4. Basis induksi: untuk $n=1$, sisi kiri adalah $1^2 = 1$, sisi kanan adalah $(-1)^{1-1} \frac{1(1+1)}{2} = 1 \times 1 = 1$, jadi benar. 5. Asumsi induksi: misalkan benar untuk $n=k$, yaitu $$\sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} i^2 = (-1)^{k-1} \frac{k(k+1)}{2}$$ 6. Buktikan untuk $n=k+1$: $$\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i-1} i^2 = \left(\sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} i^2\right) + (-1)^k (k+1)^2$$ 7. Gunakan asumsi induksi: $$= (-1)^{k-1} \frac{k(k+1)}{2} + (-1)^k (k+1)^2$$ 8. Faktorkan $(-1)^{k-1}$: $$= (-1)^{k-1} \left( \frac{k(k+1)}{2} - (k+1)^2 \right)$$ 9. Sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung: $$\frac{k(k+1)}{2} - (k+1)^2 = (k+1) \left( \frac{k}{2} - (k+1) \right) = (k+1) \left( \frac{k}{2} - k - 1 \right) = (k+1) \left( -\frac{k}{2} - 1 \right) = - (k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right)$$ 10. Ekspresi menjadi: $$(-1)^{k-1} \times - (k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right) = (-1)^k (k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right)$$ 11. Ubah bentuk: $$= (-1)^k (k+1) \frac{k+2}{2} = (-1)^k \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$ 12. Ini sama dengan bentuk yang ingin dibuktikan untuk $n=k+1$: $$(-1)^{(k+1)-1} \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$$ 13. Jadi, pernyataan benar untuk $n=k+1$. 14. Dengan prinsip induksi matematika, pernyataan benar untuk semua bilangan bulat positif $n$. --- 15. Untuk pernyataan kedua: "Tidak ada bilangan bulat antara dua bilangan bulat berdampingan". 16. Misalkan $a$ adalah bilangan bulat dan $c$ bilangan real dengan $a < c < a+1$. 17. Jika $c$ adalah bilangan bulat, maka $c$ harus sama dengan $a$ atau $a+1$ karena bilangan bulat berjarak 1 satu sama lain. 18. Namun, $c$ berada di antara $a$ dan $a+1$, bukan sama dengan keduanya. 19. Jadi, $c$ tidak bisa bilangan bulat. 20. Ini membuktikan tidak ada bilangan bulat antara dua bilangan bulat berdampingan. Jawaban lengkap untuk dua pernyataan tersebut telah diberikan.