1. Énonçons le problème : Sami perd successivement les fractions $\frac{1}{4}$, puis $\frac{2}{5}$, puis $\frac{1}{3}$ de ses billes à chaque partie. 2. Appelons $x$ le nombre initial de billes. 3. Après la première partie, il lui reste $x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$ billes. 4. Après la deuxième partie, il perd $\frac{2}{5}$ des billes restantes donc il lui reste $\left(1 - \frac{2}{5}\right) \times \frac{3}{4}x = \frac{3}{5} \times \frac{3}{4} x = \frac{9}{20}x$ billes. 5. Après la troisième partie, il perd $\frac{1}{3}$ des billes restantes, il lui reste donc $\left(1 - \frac{1}{3}\right) \times \frac{9}{20}x = \frac{2}{3} \times \frac{9}{20} x = \frac{18}{60} x = \frac{3}{10} x$ billes. 6. À ce stade, il se retire avec 1 bille, donc $\frac{3}{10}x = 1$. 7. Résolvons pour $x$ : $$x = \frac{10}{3}$$ 8. Conclusion : Sami avait initialement $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ billes, mais comme le nombre de billes doit être entier, il y a un problème car le résultat n'est pas entier. 9. En réalité, les fractions de billes perdues impliquent que le nombre initial de billes doit être un multiple commun des dénominateurs $4$, $5$, et $3$ pour que le résultat final soit un entier. 10. Posons $x = 10k$ pour un entier $k$, recalculons en fonction de $k$. 11. Après la dernière étape, on a : $$\frac{3}{10} x = 1 \Rightarrow \frac{3}{10} \times 10k = 3k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{3}$$ 12. Donc $k$ doit être un entier, ici $\frac{1}{3}$ n'est pas entier. Pour que Sami ait une bille entière à la fin, il doit commencer avec un multiple de 10 tel que $3k = \text{nombre entier de billes finales}$. 13. En ordonnant cela, Sami doit commencer avec 10 billes pour se retrouver avec 3 billes (si 3 est la bille finale mais or nous avons fini à 1 bille). C'est contradictoire. 14. Pour que Sami termine avec 1 bille entière, on doit écrire le problème en entier avec:', 'x$ initial. Finalement, on calcule $$\frac{3}{10} x = 1 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$$ 15. Comme cela ne peut pas être un nombre entier exact, Sami a commencé avec 10 billes et a perdu une bille dans le partage ou une approximation est faite. Réponse finale : Sami avait initialement $\frac{10}{3}$ billes, ce qui n'est pas un entier, mais en supposant que les fractions ne se divisent pas exactement, le nombre entier initial le plus proche est 10 billes.