1. Énoncé du problème : Montrer que la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$$ est bijective de l'intervalle $[-1, +\infty[$ vers son image, puis déterminer sa fonction réciproque $f^{-1}$. 2. Montrons que $f$ est bijective : - **Injectivité** : Une fonction est injective si pour tout $x_1, x_2$ dans le domaine, $f(x_1) = f(x_2)$ implique $x_1 = x_2$. - **Surjectivité** : Une fonction est surjective si pour tout $y$ dans l'image, il existe un $x$ dans le domaine tel que $f(x) = y$. 3. Étudions la fonction $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$ sur $[-1, +\infty[$ : - Le dénominateur $x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$ est toujours strictement positif, donc $f$ est bien définie. - Comme $(x+1)^2$ est croissant sur $[-1, +\infty[$, $x^2 + 2x + 2$ est croissant sur cet intervalle. - Par conséquent, $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$ est décroissante sur $[-1, +\infty[$ car l'inverse d'une fonction croissante positive est décroissante. - Une fonction strictement monotone est injective. 4. Trouvons l'image de $f$ : - En $x = -1$, $f(-1) = \frac{1}{(-1)^2 + 2(-1) + 2} = \frac{1}{1 - 2 + 2} = 1$. - Quand $x \to +\infty$, $x^2 + 2x + 2 \to +\infty$, donc $f(x) \to 0^+$. - Ainsi, l'image de $f$ est $]0, 1]$. - Comme $f$ est continue et strictement décroissante, elle est surjective de $[-1, +\infty[$ vers $]0, 1]$. 5. Conclusion : $f$ est bijective de $[-1, +\infty[$ vers $]0, 1]$. 6. Déterminons la fonction réciproque $f^{-1}$ : - Soit $y = f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$ avec $y \in ]0,1]$. - Inversez la relation : $$x^2 + 2x + 2 = \frac{1}{y}$$ - Réécrivons : $$x^2 + 2x + 2 - \frac{1}{y} = 0$$ - Posons $$x^2 + 2x + \left(2 - \frac{1}{y}\right) = 0$$ 7. Résolvons cette équation quadratique en $x$ : - Le discriminant est $$\Delta = 4 - 4 \times 1 \times \left(2 - \frac{1}{y}\right) = 4 - 8 + \frac{4}{y} = \frac{4}{y} - 4$$ - Comme $y \in ]0,1]$, $\Delta \geq 0$. - Les solutions sont $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{\Delta}}{2} = -1 \pm \sqrt{\frac{1}{y} - 1}$$ 8. Choisissons la solution correspondant à $x \geq -1$ (car domaine de $f$ est $[-1, +\infty[$) : - La fonction $f$ est décroissante, donc $f^{-1}$ est décroissante aussi. - Pour $y$ proche de 1, $x$ proche de $-1$, donc on prend la solution avec le signe $+$ : $$f^{-1}(y) = -1 + \sqrt{\frac{1}{y} - 1}$$ 9. Résultat final : $$\boxed{f^{-1}(y) = -1 + \sqrt{\frac{1}{y} - 1}, \quad y \in ]0,1]}$$