1. **Énoncé du problème :** Montrer que la famille $B = (u_1, u_2, u_3)$ avec $u_1 = (1,0,1)$, $u_2 = (0,1,1)$, $u_3 = (1,1,0)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. 2. **Rappel de la définition d'une base :** Une famille de vecteurs est une base de $\mathbb{R}^3$ si elle est libre et génératrice de $\mathbb{R}^3$. 3. **Montrer que $B$ est libre :** On vérifie que l'équation $\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0$ n'a que la solution triviale $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$. Écrivons cette équation composante par composante : $$\lambda_1 (1,0,1) + \lambda_2 (0,1,1) + \lambda_3 (1,1,0) = (0,0,0)$$ $$\Rightarrow (\lambda_1 + \lambda_3, \lambda_2 + \lambda_3, \lambda_1 + \lambda_2) = (0,0,0)$$ Ce qui donne le système : $$\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_3 = 0 \\ \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \end{cases}$$ 4. **Résolution du système :** De la première équation, $\lambda_3 = -\lambda_1$. De la deuxième, $\lambda_2 = -\lambda_3 = \lambda_1$. De la troisième, $\lambda_1 + \lambda_2 = \lambda_1 + \lambda_1 = 2\lambda_1 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 0$. Donc $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$. La famille est donc libre. 5. **Montrer que $B$ est génératrice :** Comme $B$ est une famille libre de 3 vecteurs dans $\mathbb{R}^3$, elle est automatiquement génératrice. 6. **Conclusion :** La famille $B = (u_1, u_2, u_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. **Réponse finale :** $B$ est une base de $\mathbb{R}^3$.