1. مسئله را بیان می‌کنیم: در دنباله حسابی داریم $a_1=51$ و $a_8=58$. می‌خواهیم تعداد جملات لازم برای جمع تا حاصل آن از 493 بیشتر شود را پیدا کنیم. 2. فرمول جمله عمومی دنباله حسابی: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ که در آن $d$ قدر نسبت است. 3. ابتدا قدر نسبت را پیدا می‌کنیم: $$a_8 = a_1 + 7d \\ 58 = 51 + 7d \\ 7d = 7 \\ d = 1$$ 4. فرمول مجموع $n$ جمله اول دنباله حسابی: $$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$$ 5. می‌خواهیم $S_n > 493$ باشد: $$\frac{n}{2} (2 \times 51 + (n-1) \times 1) > 493$$ $$\frac{n}{2} (102 + n - 1) > 493$$ $$\frac{n}{2} (n + 101) > 493$$ $$n(n + 101) > 986$$ 6. معادله درجه دوم: $$n^2 + 101n - 986 > 0$$ 7. ریشه‌های معادله را پیدا می‌کنیم: $$n = \frac{-101 \pm \sqrt{101^2 + 4 \times 986}}{2} = \frac{-101 \pm \sqrt{10201 + 3944}}{2} = \frac{-101 \pm \sqrt{14145}}{2}$$ 8. مقدار تقریبی ریشه مثبت: $$\sqrt{14145} \approx 119$$ $$n = \frac{-101 + 119}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ 9. چون $n$ باید عدد صحیح و بزرگتر از 9 باشد، پس حداقل تعداد جملات لازم 10 است. پاسخ نهایی: حداقل 10 جمله باید جمع شوند تا حاصل جمع از 493 بیشتر شود.