1. **بيان المسألة:** لدينا متتالية حسابية $(U_n)$ حيث الحد الأول $U_0$ والأساس $r$. المعطيات: $$U_2 - U_0 = 4$$ $$U_1 + U_3 = 16$$ 2. **صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية:** $$U_n = U_0 + nr$$ 3. **حساب $U_2$, $U_0$, و $r$:** - من التعريف: $$U_2 = U_0 + 2r$$ - المعادلة الأولى: $$U_2 - U_0 = 4 \Rightarrow (U_0 + 2r) - U_0 = 4 \Rightarrow 2r = 4 \Rightarrow r = 2$$ - المعادلة الثانية: $$U_1 + U_3 = 16$$ حيث: $$U_1 = U_0 + r = U_0 + 2$$ $$U_3 = U_0 + 3r = U_0 + 6$$ إذن: $$U_1 + U_3 = (U_0 + 2) + (U_0 + 6) = 2U_0 + 8 = 16$$ $$2U_0 = 8 \Rightarrow U_0 = 4$$ 4. **الحد العام للمتتالية:** $$U_n = U_0 + nr = 4 + 2n$$ 5. **اتجاه تغير المتتالية:** - بما أن $r = 2 > 0$، المتتالية متزايدة. 6. **تحديد الحد رقم 2020:** $$U_{2020} = 4 + 2 \times 2020 = 4 + 4040 = 4044$$ 7. **حساب مجموع الحدود من $U_0$ إلى $U_{1008}$:** - عدد الحدود: $$1008 - 0 + 1 = 1009$$ - مجموع متتالية حسابية: $$S = \frac{n}{2} (U_0 + U_{1008})$$ - حساب $U_{1008}$: $$U_{1008} = 4 + 2 \times 1008 = 4 + 2016 = 2020$$ - إذن: $$S = \frac{1009}{2} (4 + 2020) = \frac{1009}{2} \times 2024 = 1009 \times 1012 = 1,021,108$$ **النتائج النهائية:** - $U_0 = 4$ - $r = 2$ - الحد العام: $U_n = 4 + 2n$ - المتتالية متزايدة - الحد رقم 2020 هو $4044$ - مجموع الحدود من $U_0$ إلى $U_{1008}$ هو $1,021,108$