1. مسئله: نسبت مساحت دو بخش رنگی S_x و S_1 که توسط نمودار تابع $f(x) = kx^2$ و خطوط عمودی در نقاط $a$ و $b$ محدود شده‌اند را می‌خواهیم پیدا کنیم. 2. تابع داده شده یک سهمی است که از مبدا می‌گذرد و شکل آن $f(x) = kx^2$ است. 3. برای یافتن نسبت مساحت‌ها بدون استفاده از انتگرال، می‌توانیم از مشتق و ویژگی‌های هندسی سهمی استفاده کنیم. 4. مساحت زیر منحنی بین $a$ و $b$ (که S_1 است) برابر است با مساحت زیر خط $y=0$ تا منحنی، و مساحت بالای منحنی (S_x) برابر است با مساحت بین محور $x$ و خطوط عمودی $a$ و $b$ منهای S_1. 5. مساحت کل بین خطوط $a$ و $b$ و محور $x$ برابر است با مستطیلی به طول $b-a$ و ارتفاع برابر با مقدار تابع در نقطه‌ای که بیشترین مقدار را دارد (که در این سهمی در $b$ یا $a$ است). 6. مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: $$f'(x) = 2kx$$ 7. تابع $f(x)$ در $a$ و $b$ مقادیر $ka^2$ و $kb^2$ دارد. 8. مساحت S_1 (زیر منحنی) تقریباً برابر با میانگین ارتفاع در $a$ و $b$ ضرب در طول $(b-a)$ است: $$S_1 \approx \frac{f(a) + f(b)}{2} (b - a) = \frac{ka^2 + kb^2}{2} (b - a) = k \frac{a^2 + b^2}{2} (b - a)$$ 9. مساحت کل مستطیل بین $a$ و $b$ و محور $x$ برابر است با: $$S_{total} = (b - a) \times \max(f(a), f(b)) = (b - a) k \max(a^2, b^2)$$ 10. مساحت S_x (بخش بالای منحنی) برابر است با: $$S_x = S_{total} - S_1 = k (b - a) \max(a^2, b^2) - k \frac{a^2 + b^2}{2} (b - a) = k (b - a) \left( \max(a^2, b^2) - \frac{a^2 + b^2}{2} \right)$$ 11. نسبت مساحت‌ها: $$\frac{S_x}{S_1} = \frac{\max(a^2, b^2) - \frac{a^2 + b^2}{2}}{\frac{a^2 + b^2}{2}} = \frac{2 \max(a^2, b^2) - (a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}$$ 12. این فرمول نسبت مساحت دو بخش رنگی را بدون استفاده از انتگرال و فقط با مشتق و هندسه ساده به دست می‌دهد. پاسخ نهایی: $$\boxed{\frac{S_x}{S_1} = \frac{2 \max(a^2, b^2) - (a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}}$$