1. Determina su mínima expresión para $$\frac{x+1}{x^2-4} \cdot \frac{x^3 + 5x + 6}{4x + 12} \div \frac{x+1}{4x - 8}$$ - Factorizamos los denominadores y numeradores cuando sea posible: $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$ $$4x + 12 = 4(x+3)$$ $$4x - 8 = 4(x-2)$$ $$x^3 + 5x + 6 = (x+2)(x^2 - 2x + 3)\text{ no se factoriza en reales simples}\text{, sin embargo veamos si simplifica con otros términos.}$$ - Reescribimos la expresión: $$\frac{x+1}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x^3 + 5x + 6}{4(x+3)} \div \frac{x+1}{4(x-2)}$$ - Dividir por una fracción es multiplicar por su invertida: $$= \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x^3 + 5x + 6}{4(x+3)} \cdot \frac{4(x-2)}{x+1}$$ - Simplificamos términos comunes: $$x+1$$ en numerador y denominador se cancelan. $$4$$ en numerador y denominador se cancelan. $$(x-2)$$ también se cancelan. - La expresión queda: $$\frac{x^3 + 5x + 6}{x+2} \cdot \frac{1}{x+3}$$ - Factorizamos $x^3 + 5x + 6$ si es posible. Usamos división sintética o pruebas: Probamos raíces posibles: $x=-1$: $$(-1)^3 + 5(-1) + 6 = -1 - 5 + 6 = 0$$ Por tanto $(x+1)$ es factor. Dividimos: $$\frac{x^3 + 5x + 6}{x+1} = x^2 - x + 6$$ - Así: $$\frac{(x+1)(x^2 - x + 6)}{(x+2)(x+3)}$$ 2. Realiza las operaciones para $$\frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 + 4x + 1} \div \frac{2x+3}{x^3 + 8} \cdot \frac{x^3 - 6}{x^3 - 2x - 1}$$ - Factorizamos los polinomios: $$2x^2 + 7x + 6 = (2x+3)(x+2)$$ $$x^2 + 4x + 1\text{ no se factoriza fácilmente}\$$ $$x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$$ $$x^3 - 6\text{ no es factorable sencillo}\$$ $$x^3 - 2x - 1\text{ no factoriza fácilmente}\$$ - Reescribimos dividendo y dividendo: $$\frac{(2x+3)(x+2)}{x^2 + 4x + 1} \cdot \frac{x^3 + 8}{2x + 3} \cdot \frac{x^3 - 6}{x^3 - 2x - 1}$$ - Cancelamos $2x+3$ en numerador y denominador: $$\frac{x+2}{x^2 + 4x + 1} \cdot (x+2)(x^2 - 2x + 4) \cdot \frac{x^3 - 6}{x^3 - 2x - 1}$$ - Multiplicamos: $$\frac{(x+2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^3 - 6)}{(x^2 + 4x + 1)(x^3 - 2x - 1)}$$ 3. Opera las siguientes fracciones: $$(\frac{x+1}{x^2 + 7x}) \cdot (\frac{x}{x^2 + x}) - \frac{x}{x^3 + 7x^2}$$ - Factorizamos denominadores: $$x^2 + 7x = x(x+7)$$ $$x^2 + x = x(x+1)$$ $$x^3 + 7x^2 = x^2(x+7)$$ - Reescribimos: $$\frac{x+1}{x(x+7)} \cdot \frac{x}{x(x+1)} - \frac{x}{x^2 (x+7)}$$ - Simplificamos producto: $$\frac{(x+1) x}{x(x+7) x (x+1)} = \frac{x}{x^2(x+7)}$$ - Queda: $$\frac{x}{x^2 (x+7)} - \frac{x}{x^2 (x+7)} = 0$$ 4. Determina la simplificación: $$\left( \frac{2}{x} - \frac{1}{2+x} + \frac{1}{2-x} \right) \div \left( \frac{2+x}{2-x} - \frac{2-x}{2+x} \right)$$ - Simplificamos denominadores del denominador común: Denominador: $$\frac{2+x}{2-x} - \frac{2-x}{2+x} = \frac{(2+x)^2 - (2-x)^2}{(2-x)(2+x)}$$ - Expandimos numerador: $$(2+x)^2 - (2-x)^2 = (4 + 4x + x^2) - (4 - 4x + x^2) = 4x + 4x = 8x$$ - Denominador es diferencia de cuadrados: $$(2-x)(2+x) = 4 - x^2$$ - Por tanto, denominador total: $$\frac{8x}{4 - x^2}$$ - Ahora sumamos numerador: $$\frac{2}{x} - \frac{1}{2+x} + \frac{1}{2-x}$$ - Combinamos segunda y tercera fracción con común denominador $(2+x)(2-x)=4 - x^2$: $$- \frac{1}{2+x} + \frac{1}{2-x} = \frac{2 - x - (2 + x)}{4 - x^2} = \frac{-2x}{4 - x^2}$$ - Numerador completo: $$\frac{2}{x} + \frac{-2x}{4 - x^2}$$ - Común denominador $x(4 - x^2)$: $$\frac{2(4 - x^2)}{x(4 - x^2)} - \frac{2x^2}{x(4 - x^2)} = \frac{8 - 2x^2 - 2x^2}{x(4 - x^2)} = \frac{8 - 4x^2}{x(4 - x^2)}$$ - Simplificamos por 4: $$\frac{4(2 - x^2)}{x(4 - x^2)}$$ - Finalmente, dividimos numerador sobre denominador: $$\frac{\frac{4(2 - x^2)}{x(4 - x^2)}}{\frac{8x}{4 - x^2}} = \frac{4(2 - x^2)}{x(4 - x^2)} \cdot \frac{4 - x^2}{8x} = \frac{4(2 - x^2)}{x(4 - x^2)} \cdot \frac{4 - x^2}{8x}$$ - Cancelamos $4 - x^2$: $$= \frac{4(2 - x^2)}{x} \cdot \frac{1}{8x} = \frac{4(2 - x^2)}{8x^2} = \frac{2 - x^2}{2x^2}$$ - Así la simplificación final es: $$\boxed{\frac{2 - x^2}{2x^2}}$$